搜索
一、充分条件和必要条件的概念若“p”成立，则“q”一定成立．记作“p⇒q”，称p是q的；q是p的．换个角度考虑，p⇒q，就是说，为了使q成立，具备条件p就足够了．反过来说，一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的．二、充要条件对于p和q，如果有p⇒q，又有q⇒p，那么，记作p⇔q.这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件；同时，q既是p的充分条件，也是p的必要条件．我们称p是q的充分必要条件，简称．也称p与q是等价的．充分条件必要条件充要条件[疑难提示]p是q的充要条件与p的充要条件是q的区别p是q的充要条件指的是p⇒q是充分性，p的充要条件是q中，q⇒p是充分性．[想一想]1．若p是q的充分条件，那么p唯一吗？提示：不唯一，如x3是x0的充分条件，x5、x10也是x0的充分条件．[练一练]2．“x0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：“x0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．答案：A3．“x2－3x＋20”是“－1x2”的__________条件．解析：由x2－3x＋20，得1x2，因为“1x2”是“－1x2”的充分不必要条件，所以“x2－3x＋20”是“－1x2”的充分不必要条件．答案：充分不必要探究一充分条件、必要条件、充要条件的判断[典例1]指出下列各命题中，p是q的什么条件？(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：m4，q：关于x的方程x2＋mx＋3＝0有实根；(3)p：x＝1，或x＝2，q：x－1＝x－1；(4)在△ABC中，p：sinAsinB，q：tanAtan[解析](1)∵a＋b＝0⇒/a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，∴p是q的必要不充分条件．(2)当m4时，判别式Δ＝m2－120，∴方程有实根，即p⇒q；若方程有实根，则Δ＝m2－12≥0，即m≥23或m≤－23，推不出m4.即q⇒/p，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵x＝1，或x＝2⇒x－1＝x－1；x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件．(4)取A＝120°，B＝30°，p⇒/q，又取A＝30°，B＝120°，q⇒/p，∴p是q的既不充分也不必要条件．判断充要条件的方法(1)判断p是q的什么条件，其实质是判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q为真且q⇒p为假，则p是q的充分不必要条件；若p⇒q为假而q⇒p为真，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q与q⇒p均为真，则p是q的充要条件；若p⇒q及q⇒p均不正确，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)等价法：将命题转化为另一个等价的且又便于判断真假的命题．(3)当不易判断p⇒q的真假时，可从集合角度入手考虑．建立与p、q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⃘B，且B⃘A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件1．“直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋y2＝1相切”是“k＝－43”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：当k＝－43时，圆心(2,0)到直线y＝－43x＋1的距离为|－83＋1|－432＋－12＝1，直线y＝－43x＋1与圆(x－2)2＋y2＝1相切，故必要性成立；若直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则k＝－43或k＝0，故充分性不成立，所以“直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋y2＝1相切”是“k＝－43”的必要不充分条件，故选C.答案：C2．指出下列各题中，p是q的什么条件：(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2；(2)p：同位角相等，q：两直线平行；(3)p：x＝3，q：x2＝9；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．解析：(1)因为命题“若(x－2)(x－3)＝0，则x＝2”是假命题，而命题“若x＝2，则(x－2)(x－3)＝0”是真命题，所以p是q的必要条件，但不是充分条件，即p是q的必要不充分条件；(2)因为命题“若同位角相等，则两直线平行”是真命题，而命题“若两直线平行，则同位角相等”也是真命题，所以p是q的充要条件；(3)因为命题“若x＝3，则x2＝9”是真命题，而命题“若x2＝9，则x＝3”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件；(4)因为命题“若四边形的对角线相等，则四边形是平行四边形”是假命题，而命题“若四边形是平行四边形，则四边形的对角线相等”也是假命题，所以p不是q的充分条件，也不是必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件．探究二充要条件的证明[典例2]设a，b，c分别为△ABC的∠A，∠B，∠C所对的边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.[证明]充分性：因为∠A＝90°，所以a2＝b2＋c2.于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，即x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.该方程有两根：x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)．同样，另一个方程x2＋2cx－b2＝0可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0.该方程也有两根：x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．从而可以发现x1＝x3，所以两方程有公共根．必要性：设x是两方程的公共根，则x2＋2ax＋b2＝0，①x2＋2cx－b2＝0，②由①＋②得x＝－(a＋c)，将其代入①并整理可得a2＝b2＋c2，所以∠A＝90°.充要条件的证明关键是根据定义确定条件和结论，然后搞清充分性是由条件推结论，必要性是由结论推条件．也可以理解为：证充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成立．3．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.∴必要性成立．再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－B.代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得：ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋b＋a)＝0.故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.4．关于x的不等式或方程，证明x2＋px＋q≤0的解集只含有一个元素的充要条件是p2＝4q.证明：先证明必要性：解x2＋px＋q≤0，若Δ＝p2－4q0，则不等式的解集为{x|－p－Δ2≤x≤－p＋Δ2}，与题意不符；若Δ0，x2＋px＋q0恒成立，则不等式的解集为∅，也与题意不符；所以只有Δ＝p2－4q＝0，即p2＝4q才使得原不等式的解集中只含有一个元素{x|x＝－p2}．再证明充分性：由p2＝4q，则原不等式可以整理成x2＋px＋q＝x2＋px＋p24＝(x＋p2)2≤0.因此解集为{x|x＝－p2}，只有一个元素．综上所述，x2＋px＋q≤0的解集只含有一个元素的充要条件是p2＝4q.探究三充分条件、必要条件、充要条件的应用充分条件、必要条件、充要条件的应用——判断命题的真假—求充要条件—求参数的范围5．若“x2－3x－40”是“x2－3ax－10a20”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A.－3，65B.－2，45C．(－∞，－3]∪65，＋∞D．(－∞，－2]∪45，＋∞解析：x2－3x－40⇒x4或x－1.当a≥0时，由x2－3ax－10a20，得x5a或x－2a，当a0时，由x2－3ax－10a20，得x5a或x－2a.由题意，得a≥05a≥4－2a≤－1或a0－2a≥45a≤－1，解得a≥45或a≤－2，选D.答案：D6．已知p：关于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有两个子集，q：1－m≤a≤1＋m，m0.若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解析：∵q是p的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件．对于p，依题意，知Δ＝(－2a)2－4×4(2a＋5)＝4(a2－8a－20)≤0，∴－2≤a≤10.设P＝{a|－2≤a≤10}，Q＝{a|1－m≤a≤1＋m，m0}，由题意知PQ，m01－m－21＋m≥10或m01－m≤－21＋m10，解得m≥9，∴实数m的取值范围是[9，＋∞)．应用转化思想在有关命题的充分、必要条件中求参数的范围[典例](1)是否存在实数p，使“4x＋p0”是“x2－x－20”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．(2)已知p：x2－x－2≤0，q：x2－3mx＋2m2≤0，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．[解析](1)由x2－x－20，解得x2或x－1.令A＝{x|x2或x－1}，由4x＋p0，得B＝{x|x－p4}．由题意得B⊆A，即－p4≤－1，即p≥4，此时x－p4≤－1⇒x2－x－2＞0，所以当p≥4时，“4x＋p0”是“x2－x－20”的充分条件．(2)由p是q的必要条件，得q⇒p，其中，p：{x|－1≤x≤2}．不等式x2－3mx＋2m2≤0，即(x－m)(x－2m)≤0，当m＝0时，解得x＝0，符合题意；当m0时，解得m≤x≤2m，依题意，得m≥－1，2m≤2，所以0m≤1；当m0时，解得2m≤x≤m，依题意，得2m≥－1，m≤2，所以－12≤m＜0.综上所述，实数m的取值范围是[－12，1]．[感悟提高]设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则命题的充分条件，必要条件与集合的基本关系的转化有以下两个途径：(1)p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；(2)A⊆B，可得p⇒q；B⊆A，可得q⇒p.