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第一章常用逻辑用语1．4.3含有一个量词的命题的否定第一章常用逻辑用语考点学习目标核心素养全称命题的否定掌握对全称命题否定的方法数学抽象特称命题的否定掌握对特称命题否定的方法数学抽象问题导学预习教材P24～P25，并思考下列问题：全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？含有一个量词的命题的否定p﹁p结论全称命题∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)全称命题的否定是__________特称命题∃x0∈M，p(x0)_______________特称命题的否定是__________特称命题∀x∈M，﹁p(x)全称命题■名师点拨(1)要否定全称命题“∀x∈M，p(x)”，只需在M中找到一个x0，使得p(x0)不成立，也就是命题“∃x0∈M，﹁p(x0)”成立．(2)要否定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，﹁p(x)”成立．在书写这两种命题的否定时，要将相应的存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词．[提醒]一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题﹁p的否定是p.()(2)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．()(3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．()√√×命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x0∈R，x30－x20＋1≥0C．对任意的x∈R，x3－x2＋10D．存在x0∈R，x30－x20＋10解析：选D．全称命题的否定是特称命题，故排除C；由命题的否定只否定结论，不否定条件，故排除A，B．命题“∃x0∈R，x30－2x0＋1＝0”的否定是()A．∃x0∈R，x30－2x0＋1≠0B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0C．∀x∈R，x3－2x＋1＝0D．∀x∈R，x3－2x＋1≠0解析：选D．特称命题的否定是全称命题，故排除A；由命题的否定要否定结论，故排除C；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”，故排除B．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是______________________________．答案：存在一个能被2整除的数不是偶数含有一个量词的命题的否定写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：所有的方程都有实数解；(2)q：∀x∈R，4x2－4x＋1≥0；(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(4)s：某些平行四边形是菱形．【解】(1)﹁p：存在一个方程没有实数解，真命题．比如方程x2＋1＝0就没有实数解．(2)﹁q：∃x0∈R，4x20－4x0＋10，假命题．由于∀x∈R，4x2－4x＋1＝(2x－1)2≥0恒成立，是真命题，所以﹁q是假命题．(3)﹁r：∀x∈R，x2＋2x＋20，真命题．(4)﹁s：每一个平行四边形都不是菱形，假命题．写全称命题与特称命题的否定的思路在书写全称命题与特称命题的否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从量词入手，书写命题的否定．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．1．命题“存在x0∈R，使2x0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R，使2x00B．存在x0∈R，使2x0≥0C．对任意的x∈R，都有2x≤0D．对任意的x∈R，都有2x0解析：选D．“存在”改为“任意”，“≤”改为“”，选D．2．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：每一个素数都是奇数；(2)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行；(3)p：有些实数的绝对值是正数．解：(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，﹁p：存在一个素数不是奇数，是真命题．(2)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”，﹁p：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行，是真命题．(3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此，﹁p：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题．含量词的命题的应用已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．【解】因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x20＋ax0＋10”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知Δ＝a2－40，解得a－2或a2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．1．(变条件)若本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．解：由题意知Δ≤0，则a2－4≤0，得－2≤a≤2.所以实数a的取值范围为[－2，2]．2．(变条件)若本例中的“任意x∈R”改为“x0”，求实数a的取值范围．解：因为全称命题“对于x0，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为“存在x00，x20＋ax0＋10”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知Δ＝a2－40，－a2≥0，解得a－2，所以实数a的取值范围是(－∞，－2)．若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．已知函数f(x)＝x2＋ax－2.(1)∀x∈[1，＋∞)，都有f(x)0，求实数a的取值范围；(2)∃x∈(1，＋∞)，f(x)0，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)0⇔x2＋ax－20，又x≥1，所以2x－xa(x∈[1，＋∞))，设g(x)＝2x－x(x∈[1，＋∞))，依题意得g(x)a在[1，＋∞)上恒成立．又g(x)在[1，＋∞)上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝21－1＝1.因此a1，故实数a的取值范围是(1，＋∞)．(2)f(x)0⇔x2＋ax－20，又x1，所以2x－xa，x∈(1，＋∞)，设g(x)＝2x－x(x∈(1，＋∞))，依题意得g(x)a在(1，＋∞)上有解，从而g(x)maxa.由g(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以g(x)g(1)＝1，因此a1，故实数a的取值范围是(－∞，1)．1．命题“存在实数x，使x1”的否定是()A．对任意实数x，都有x1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：选C．命题“存在实数x，使x1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．2．已知命题p：∀x0，总有(x＋1)ex1，则﹁p为()A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．∃x00，使得(x0＋1)ex0≤1C．∀x0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1解析：选B．全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x0，总有(x＋1)ex1的否定是﹁p：∃x00，使得(x0＋1)ex0≤1.3．命题“对任意实数x，都有x2－2x＋2＞0”的否定为_____．答案：存在实数x0，使得x20－2x0＋2≤04．写出下列命题的否定：(1)可以被5整除的数，末位是0；(2)能被3整除的数，也能被4整除．解：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放