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1.4全称量词与存在量词目标定位重点难点1.理解全称量词、存在量词，会用符号语言表示全称命题、特称命题2．能判断全称命题、特称命题的真假，掌握这两类命题的判定方法3．能够对含有一个量词的命题进行正确的否定重点：全称量词和存在量词难点：对全称命题和特称命题真假的判定；对命题的否定1．全称量词和全称命题全称量词______、____、___________、对一切符号表示____全称命题含有________的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为“______________”所有的任给对任意一个∀全称量词∀x∈M，p(x)2．存在量词和特称命题存在量词________、__________、________、________符号表示____特称命题含有________的命题形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，可用符号记为“______________”存在一个至少有一个有一个对某个∃存在量词∃x0∈M，p(x0)3．含有一个量词的命题的否定4.重要结论(1)全称命题的否定是__________；(2)特称命题的否定是__________．命题命题的表述全称命题p∀x∈M，p(x)全称命题的否定¬p∃x0∈M，¬p(x0)特称命题p∃x0∈M，p(x0)特称命题的否定¬p∀x∈M，¬p(x)特称命题全称命题1．“a⊥平面α，则a垂直于平面α内任一条直线”是()A．否命题B．假命题C．全称命题D．特称命题【答案】C2．(2019年安徽合肥月考)已知命题p：∀x∈(1，＋∞)，x3＋16＞8x，则命题p的否定为()A．¬p：∀x∈(1，＋∞)，x3＋16≥8xB．¬p：∀x∈(1，＋∞)，x3＋16＜8xC．¬p：∃x0∈(1，＋∞)，x30＋16≤8x0D．¬p：∃x0∈(1，＋∞)，x30＋16＜8x0【答案】C3．下列命题的否定为真命题的是()A．有理数是实数B．末位是0的整数，可以被2整除C．∃x0∈R,2x0＋3＝0D．∀x∈R，x2－2x0【答案】D4．若“∀x∈0，π4，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为__________．【答案】C【例1】判断下列语句是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)有一个实数α，tanα无意义；(2)任何一条直线都有斜率；(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；(4)圆内接四边形，其对角互补；(5)指数函数都是单调函数．【解题探究】利用全称命题与特称命题的判断方法．全称命题与特称命题的辨析【解析】(1)特称命题．α＝π2，tanα无意义，所以特称命题“有一个实数α，tanα无意义”是真命题．(2)全称命题．垂直于x轴的直线没有斜率，所以该命题是假命题．(3)含有全称量词，所以该命题是全称命题．又任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径”是真命题．(4)“圆内接四边形，其对角互补”的实质是“所有圆的内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题且为真命题．(5)虽然不含全称量词，其实“指数函数都是单调函数”中省略了“所有的”，所以该命题是全称命题且为真命题．8判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词，要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，要根据命题涉及的意义去判断．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；在限定集合M中，使p(x)成立的x不存在，则这一特称命题就是假命题．1．判断下列命题是全称命题还是特称命题．(1)所有的素数都是奇数；(2)有一个实数x，使x2＋x＋1＝0；(3)∀x∈R，x2＋1≥1；(4)有些三角形不是等腰三角形；(5)正方形都是矩形．【答案】(1)(3)(5)是全称命题；(2)(4)是特称命题．【例2】设集合S＝{四边形}，p(x)：内角和为360°.试用不同的表述写出全称命题“∀x∈S，p(x)”．【解题探究】同一个全称命题或特称命题，可能有不同的表述方法．全称命题、特称命题的表述【解析】依题意可得以下几种不同的表述．对所有的四边形x，x的内角和为360°；对一切四边形x，x的内角和为360°；每一个四边形x的内角和为360°；任一个四边形x的内角和为360°；凡是四边形x，它的内角和为360°.8全称命题与特称命题的常见表述方法如下：命题全称命题特称命题表述方法①对所有的x∈M，p(x)成立①存在x0∈M，使p(x0)成立②对一切x∈M，p(x)成立②至少有一个x0∈M，使p(x0)成立③对每一个x∈M，p(x)成立③有些x0∈M，使p(x0)成立④任取一个x∈M，p(x)成立④某个x0∈M，使p(x0)成立⑤凡x∈M，都有p(x)成立⑤有一个x0∈M，使p(x0)成立2．设q(x)：x2＝x，试用不同的表达方法写出特称命题“∃x0∈R，q(x0)”．【解析】依题意可得以下几种不同的表述．存在实数x0，使x20＝x0成立；至少有一个x0∈R，使x20＝x0成立；有些实数x0，使x20＝x0成立；有一个x0∈R，使x20＝x0成立；某一个x0∈R，使x20＝x0成立．【例3】写出下列命题的否定并判断其真假：(1)所有末位数字是5的整数都能被5整除；(2)每一个非负数的平方都是正数；(3)存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)有的四边形没有外接圆；(5)某些梯形的对角线互相平分．【解题探究】先转化为“标准的”特称或全称命题，再对关键词语进行否定．全称命题、特称命题的否定【解析】(1)存在一个末位数字是5的整数不能被5整除，假命题．(2)存在一个非负数，它的平方不是正数，真命题．(3)任何一个三角形，它的内角和不大于180°，真命题．(4)所有四边形都有外接圆，假命题．(5)所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．8全称量词和特称量词的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，相应的存在量词变为全称量词，具有性质p变为具有性质¬p.因此，写命题的否定时，一要注意确定量词的应用，二要明确量词的否定形式．写出否定形式后要注意辨别原命题与命题的否定是否真假相反，从而进一步验证命题正确与否．3．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.【解析】(1)¬p：∃x0∈R，x20－x0＋140.∵∀x∈R，x2－x＋14＝x－122≥0恒成立，∴¬p是假命题．(2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)¬r：∀x∈R，x2＋2x＋20.∵∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥10恒成立，∴¬r是真命题．(4)¬s：∀x∈R，x3＋1≠0.∵x＝－1时，x3＋1＝0，∴¬s是假命题．写命题的否定易出错【示例】已知p：|3x－4|2，q：1x2－x－20，求¬p和¬q对应的x值的集合．【错解】由p：|3x－4|2，得¬p：|3x－4|≤2，所以－2≤3x－4≤2.所以23≤x≤2，即¬p：x23≤x≤2.由q：1x2－x－20，得¬q：1x2－x－2≤0，所以－1x2，即¬q：{x|－1x2}．【错因分析】若满足条件p的x组成的集合为M，那么满足p的否定¬p的x组成的集合就是M的补集，在上例中，学生容易出现由q：1x2－x－20得¬q：1x2－x－2≤0的错误，应先求出满足q的x的取值范围，再求其补集．【正解】由p：|3x－4|2，得p：x2或x23，所以¬p：23≤x≤2，即¬p：x23≤x≤2.由q：1x2－x－20，得q：x2或x－1，所以¬q：－1≤x≤2，即¬q：{x|－1≤x≤2}．【警示】若条件p是不等式时，应先将不等式转化为集合M的形式，再求¬p，即集合M的补集．1．判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．2．全(特)称命题真假的判断(1)全称命题是真命题，必须确定对集合M中的每一个元素都成立，若是假命题，举一个反例即可．(2)特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少找到一个元素使得命题成立，若是假命题，则对集合M中的每一个元素都不成立．1．(2019年河南洛阳期中)若命题p：∀x∈－π2，π2，tanx＞sinx，则命题¬p为()A．∃x0∈－π2，π2，tanx0＜sinx0B．∃x0∈－π2，π2，tanx0＞sinx0C．∃x0∈－π2，π2，tanx0≤sinx0D．∃x0∈－∞，－π2∪π2，＋∞，tanx0＞sinx0【答案】C【解析】全称命题的否定要把“∀”改为“∃”并否定结论，“＞”的否定为“≤”，所以命题¬p为“∃x0∈－π2，π2，tanx0≤sinx0”．2．下列命题是全称命题并且是真命题的是()A．每个二次函数的图象都开口向上B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤bC．存在一条直线与两个相交平面都垂直D．存在一个实数x0，使不等式x－3x0＋60成立【答案】B【解析】A是全称命题，但是假命题；B是全称命题且是真命题；C，D是特称命题．故选B.3．已知命题p：∃x∈(－∞，0)，2x＜3x；命题q：∀x∈(0，π)，sinx≤1，则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∨(¬q)C．p∧(¬q)D．(¬p)∧q【答案】D【解析】∵当x∈(－∞，0)时，2x＞3x恒成立，故命题p：“∃x∈(－∞，0)，2x＜3x”为假命题；当x∈(0，π)时，0＜sinx≤1，故命题q为真命题，故命题p∧q，p∨(￢q)，p∧(￢q)均为假命题；(￢p)∧q为真命题．故选D．4．已知函数f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“∀x∈(0,1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是______．【答案】12，1∪(1，＋∞)【解析】已知函数f(x)＝a2x－2a＋1，命题“∀x∈(0,1)，f(x)≠0”是假命题，∴原命题的否定“存在实数x0∈(0,1)，使f(x0)＝0”是真命题．∴f(0)·f(1)0，即(－2a＋1)(a2－2a＋1)0.∴(a－1)2(2a－1)0，解得a12，且a≠1.∴实数a的取值范围是12，1∪(1，＋∞)．