2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.1 且 1.3.2 或 1.3.3 非

第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词1.3.1且(and)1.3.2或(or)1.3.3非(not)第一章常用逻辑用语考点学习目标核心素养“且”“或”“非”的含义了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义,掌握用逻辑联结词改写命题的方法数学抽象“且”“或”“非”命题的真假判断掌握判断含逻辑联结词的命题真假的方法逻辑推理问题导学预习教材P14～P17,并思考下列问题：1.课本提到的简单的逻辑联结词有哪些？2.命题p∧q、p∨q以及﹁p的真假是如何确定的？1.用逻辑联结词构成新命题构成新命题记作读作用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题p∧qp且q用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题p∨qp或q对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题﹁p非p或p的否定■名师点拨(1)“且”表示同时的意思,可联系集合中“交集”的概念.(2)“或”表示至少一个,可联系集合中“并集”的概念.(3)“非”表示对原命题的否定,可联系集合中“补集”的概念.2.含有逻辑联结词的命题的真假判断pqp∨qp∧q﹁p真真_____________________真假_____________________假真_____________________假假_____________________真真假真假假真假真假假真■名师点拨确定p∧q,p∨q,﹁p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假,p∨q→见真即真,p与﹁p→真假相反.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中.()(2)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件.()(3)命题“p∨(﹁p)”是真命题.()(4)命题的否定与否命题是相同的概念.()××√×下列语句是“p且q”形式的命题的是()A.老师和学生B.9的平方根是3C.矩形的对角线互相平分且相等D.对角线互相平分的四边形是矩形解析：选C.根据逻辑联结词“且”的含义,可知C中的命题是“p且q”形式；A不是命题；B,D中的命题都不是“p且q”形式.下列命题中是“p或q”形式的命题的是()A.函数y＝lnx是减函数B.函数y＝ax(a1)是增函数C.2是方程x2－4＝0的根又是方程x－2＝0的根D.28是5的倍数或是7的倍数解析：选D.选项A,B中的命题不是由逻辑联结词构成的命题,故不是“p或q”形式的命题；选项C中的命题可写成“2是方程x2－4＝0的根且2是方程x－2＝0的根”,该命题是“p且q”形式的命题；选项D中的命题可写成“28是5的倍数或28是7的倍数”,该命题是“p或q”形式的命题.故选D.已知p：2＋3＝5,q：54,则下列判断正确的是()A.p为假命题B.q为真命题C.p∨q为真命题D.p∧q为真命题解析：选C.因为p为真命题,q为假命题,所以p∨q为真命题.下列命题：①54或45；②9≥3；③命题“若ab,则a＋cb＋c”；④命题“菱形的两条对角线互相垂直平分”.其中真命题为________.答案：①②③④分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式的复合命题：(1)p：π是无理数,q：e不是无理数；(2)p：周长相等的两个三角形全等,q：面积相等的两个三角形全等；(3)p：方程x2＋4x＋3＝0有两个相等的实数根,q：方程x2＋4x＋3＝0有两个负实数根.用逻辑联结词构造新命题【解】(1)p∨q：π是无理数或e不是无理数；p∧q：π是无理数且e不是无理数；﹁p：π不是无理数.(2)p∨q：要么周长相等的两个三角形全等,要么面积相等的两个三角形全等；p∧q：周长相等的两个三角形全等,面积相等的两个三角形也全等；﹁p：周长相等的两个三角形不全等.(3)p∨q：方程x2＋4x＋3＝0有两个相等的实数根或有两个负实数根；p∧q：方程x2＋4x＋3＝0有两个相等的负实数根；﹁p：方程x2＋4x＋3＝0没有两个相等的实数根.用逻辑联结词构造新命题的两个步骤指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)96是48与16的倍数；(2)方程x2－3＝0没有有理根；(3)不等式x2－x－20的解集是{x|x2或x－1}.解：(1)这个命题是“p∧q”的形式,其中p：96是48的倍数,q：96是16的倍数.(2)这个命题是“﹁p”的形式,其中p：方程x2－3＝0有有理根.(3)这个命题是“p∨q”的形式,其中p：不等式x2－x－20的解集是{x|x2},q：不等式x2－x－20的解集是{x|x－1}.(1)已知命题p：对任意的x0,ln(x＋1)0；命题q：若a＞b,则a2b2.下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧(﹁q)C.(﹁p)∧qD.(﹁p)∧(﹁q)含逻辑联结词的命题的真假判断(2)给出两个命题：p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点；q：若1x1,则x1.在下列四个命题中,真命题是()A.(﹁p)∨qB.p∧qC.(﹁p)∧(﹁q)D.(﹁p)∨(﹁q)【解析】(1)因为x0,x＋11,所以ln(x＋1)0,所以命题p为真命题；当ba0时,a2b2,故命题q为假命题,由真值表可知B正确,故选B.(2)对于p,函数对应的方程x2－x－1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝50,所以函数有两个不同的零点,故命题p为真命题.对于q,当x0时,不等式1x1恒成立,所以命题q为假命题.所以命题(﹁p)∨q、p∧q、(﹁p)∧(﹁q)均为假命题,(﹁p)∨(﹁q)为真命题.【答案】(1)B(2)D判断含逻辑联结词命题真假的三个步骤(1)明确命题的结构,即命题是“p∧q”“p∨q”,还是“﹁p”.(2)对命题p和q的真假作出判断.(3)由“p∧q”“p∨q”“﹁p”的真假判断方法给出结论.分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式的命题,并判断其真假.(1)p：3是9的约数,q：3是18的约数；(2)p：矩形的对角线相等,q：矩形的对角线互相垂直.解：(1)p∨q：3是9的约数或是18的约数,此命题为真命题.p∧q：3是9的约数且是18的约数,此命题为真命题.﹁p：3不是9的约数,此命题为假命题.(2)p∨q：矩形的对角线相等或互相垂直,此命题为真命题.p∧q：矩形的对角线相等且互相垂直,此命题为假命题.﹁p：矩形的对角线不相等,此命题为假命题.已知,p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围【解】p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根⇔Δ＝m2－40，－m0，解得m2.q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根⇔Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)0,解得1m3.因为p或q为真,p且q为假.所以p为真,q为假或p为假,q为真,即m2，m≤1或m≥3或m≤2，1m3，解得m≥3或1m≤2.故m的取值范围是(1,2]∪[3,＋∞).1.(变条件)本例中将“p∨q为真,p∧q为假”改为“p∧q为真”,求实数m的取值范围.解：因为“p∧q”为真命题,所以p为真且q为真.p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根⇔Δ＝m2－40，－m0⇔m2.q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根⇔Δ＝16(m－2)2－160⇔1m3.所以实数m的取值范围为(2,3).2.(变条件)本例中将“q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根”改为“q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0有两个不等的实数根”,其他条件不变,求实数m的取值范围.解：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根⇔Δ＝m2－40，－m0⇔m2.q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0有两个不等的实根⇔Δ＝16(m－2)2－160⇔m3或m1.因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p,q为一真一假.①当p为真q为假时,则m2，1≤m≤3，解得2m≤3.②当p为假q为真时,则m≤2，m3或m1，解得m1.综上所述,实数m的取值范围是(－∞,1)∪(2,3].应用逻辑联结词求参数范围的4个步骤(1)分别求出命题p,q为真时对应的参数集合A,B.(2)讨论p,q的真假.(3)由p,q的真假转化为相应的集合的运算；(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围.[注意]当p,q中有假命题时,求参数范围应从求真命题的补集入手,可简化运算,减少出错.已知命题p：|m＋1|≤2成立,命题q：方程x2－2mx＋1＝0有实数根,若﹁p为假命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.解：由|m＋1|≤2得－3≤m≤1,即命题p：－3≤m≤1.由方程x2－2mx＋1＝0有实数根,得Δ＝(－2m)2－4≥0,即m≥1或m≤－1,即命题q：m≥1或m≤－1.因为﹁p为假命题,p∧q为假命题,所以p为真命题,q为假命题,﹁q为真命题,﹁q：－1＜m＜1,由－3≤m≤1，－1＜m＜1得－1＜m＜1.所以m的取值范围是(－1,1).1.命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是()A.“p或q”形式的命题B.“p且q”形式的命题C.“非p”形式的命题D.以上均不正确解析：选B.因为“相等且互相平分”包含两个同时成立的结论,所以它是“p且q”形式的命题,其中p：平行四边形的对角线相等,q：平行四边形的对角线互相平分.2.已知命题p：若ab＝0,则a＝0；命题q：若a＝0,则ab＝0,则()A.“p或q”为假B.“p且q”为真C.p真q假D.p假q真解析：选D.由条件易知,命题p为假命题,命题q为真命题,故p假q真,从而“p或q”为真,“p且q”为假.3.已知p：点P在直线y＝2x－3上,q：点P在直线y＝－3x＋2上,则使命题p∧q为真命题的一个点P(x,y)是()A.(0,－3)B.(1,2)C.(1,－1)D.(－1,1)解析：选C.因为p∧q为真命题,所以p,q均为真命题,即点P为直线y＝2x－3与y＝－3x＋2的交点,故有y＝2x－3，y＝－3x＋2，解得x＝1，y＝－1.故选C.4.分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式的新命题.(1)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根,q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；(2)p：正△ABC的三个内角都相等,q：正△ABC有一个内角是直角.解：(1)p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等.p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等.﹁p：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根.(2)p∨q：正△ABC的三个内角都相等或有一个内角是直角.p∧q：正△ABC的三个内角都相等且有一个内角是直角.﹁p：正△ABC的三个内角不都相等.