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1.3简单的逻辑联结词目标定位重点难点1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义，能判断命题“且”“或”“非”的真假2．通过实例体会逻辑联结词“且”“或”“非”在数学中的意义3．能够进行文字语言与符号语言的相互转化重点：了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义，能判断命题“且”“或”“非”的真假难点：“或”的含意的理解，对命题的否定1．用逻辑联结词构成新命题(1)用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．(2)用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”，读作“________”．(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“____”，读作“____”或“________”．p∧qp且qp或q¬p非pp的否定2．含有逻辑联结词的命题的真假判断pqp∨qp∧q¬p真真____________真假____________假真____________假假____________真真假真假假真假真假假真1．以下判断中正确的是()A．命题p是真命题时，命题“p∧q”一定是真命题B．命题“p∧q”为真命题时，命题p一定是真命题C．命题“p∧q”为假命题时，命题p一定是假命题D．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题【答案】B2．已知命题p：若xy，则－x－y；命题q：若xy，则x2y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】C3．设命题p：若y＝f(x)的定义域为R且函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，则函数y＝f(x)是奇函数，命题q：等腰三角形都是锐角三角形，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．(¬p)∨qC．p∧(¬q)D．(¬p)∧(¬q)【答案】C4．已知命题p：若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：若ab，则1a1b.给出下列四个命题：①p且q；②p或q；③¬p；④¬q.上述命题中为真命题的是________．【答案】②④【例1】指出下列命题的形式及构成它的简单命题．(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形；(3)矩形不是平行四边形．【解题探究】利用含逻辑联结词的词语确定命题的形式．用逻辑联结词联结新命题【解析】(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形．(3)这个命题是“¬p”的形式，其中p：矩形是平行四边形．8用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义．通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词，如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”.1．用逻辑联结词“或”“且”“非”改写下列命题．(1)96既是48的倍数，又是16的倍数；(2)方程x2－3＝0没有有理根；(3)2≥3.【解析】(1)这个命题是“p∧q”的形式，即96是48的倍数且是16的倍数．(2)这个命题是“¬p”的形式，即方程x2－3＝0没有有理根．(3)这个命题是“p∨q”的形式，即2＞3或2＝3.【例2】分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“¬p”形式的命题的真假．(1)p：66，q：6＝6；(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋20无解；(4)p：函数y＝cosx是周期函数，q：函数y＝cosx是奇函数．【解题探究】利用含逻辑联结词命题用真值表进行判断．判断含逻辑联结词的命题的真假【解析】(1)∵p为假命题，q为真命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，¬p为真命题．(2)∵p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，¬p为真命题．(3)∵p为真命题，q为真命题，∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，¬p为假命题．(4)∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，¬p为假命题．81．命题结构的两种类型及判断方法：(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断．(2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断．2．判断命题真假的三个步骤：(1)确定命题的构成形式．(2)判断命题p，q的真假．(3)根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.2．分别指出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”及“¬p”形式，并判断真假．(1)p：2n－1(n∈Z)是奇数，q：2n－1(n∈Z)是偶数；(2)p：集合中元素是确定的，q：集合中元素是无序的．【解析】(1)“p∨q”：2n－1(n∈Z)是奇数或是偶数；(真)“p∧q”：2n－1(n∈Z)既是奇数又是偶数；(假)“¬p”：2n－1(n∈Z)不是奇数．(假)(2)“p∨q”：集合中的元素是确定的或无序的；(真)“p∧q”：集合中的元素是确定的且无序的；(真)“¬p”：集合中的元素是不确定的．(假)【例3】已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．【解题探究】利用命题的真假解决含参数问题．利用命题的真假求参数范围【解析】若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，则Δ＝m2－40，m0，解得m2，即p：m2.若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)0，解得1m3，即q：1m3.因为p或q为真，所以p，q至少有一个为真．又p且q为假，所以p，q至少有一个为假．因此，p，q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真．所以m2，m≤1或m≥3或m≤2，1m3.解得m≥3或1m≤2.8由简单命题的真假可判断复合命题的真假，反之，由复合命题的真假也可判定构成此复合命题的简单命题的真假，再转化为相应的集合运算，通过解不等式或不等式组得到参数的取值范围．3．已知a0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．【解析】函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，即0＜a＜1；曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点等价于Δ＝(2a－3)2－40，即a12或a52.∵p或q为真，∴p，q中至少有一个为真．∵p且q为假，∴p，q中至少有一个为假．∴p，q中必定是一个为真一个为假．(1)若p真，q假，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴没有两个不同交点，因此a∈(0,1)∩12，1∪1，52，即a∈12，1.(2)若p假，q真，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，因此a∈(1，＋∞)∩0，12∪52，＋∞，即a∈52，＋∞.综上所述，a的取值范围为12，1∪52，＋∞.若p则q型命题的否定易出错【示例】已知命题p：若ab，则1a1b，写出其否定并判断真假．【错解】¬p：若ab，则1a≤1b.假命题．【错因分析】当ab，则1a1b不一定正确，是假命题，从而命题p的否定¬p应是真命题；但若ab，则1a≤1b也不一定正确，也是假命题，从而¬p写得不正确，命题p的实质是若ab，则1a不一定大于1b.【正解】¬p：若ab，则1a不一定大于1b.真命题．【警示】在对命题的结论进行否定时，不能一概在表示判断的词语前面加“不”，应结合命题的特点，观察是否存在省略或隐含的关键词，若存在，将命题改写成容易判断的形式，再对命题进行否定．1．判断一个复合命题真假的步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中各简单命题的真假；(3)利用真值表判断“p∧q”“p∨q”“¬p”命题的真假．2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断：当p，q都为真，p∧q才为真；当p，q有一个为真，p∨q即为真；¬p与p的真假性相反且一定有一个为真．1．“ab≠0”是指()A．a≠0且b≠0B．a≠0或b≠0C．a，b中至少有一个为0D．a，b不都为0【答案】A【解析】∵ab≠0，∴a≠0且b≠0.故选A.2．若命题p：0是偶数，q：2是3的约数，则下列命题为真的是()A．p∧qB．p∨qC．¬pD．(¬p)∧(¬q)【答案】B【解析】∵p真，q假，∴p∨q为真．故选B.3．若命题“p∨q”的否定是真命题，则必有()A．p真且q真B．p假且q假C．p真且q假D．p假且q真【答案】B【解析】∵命题“p∨q”的否定是真命题，∴(¬p)∧(¬q)为真命题，即¬p为真，¬q为真．∴p假，q假．故选B.4．已知p：点M(1,2)在不等式x－y＋m0表示的区域内，q：直线2x－y＋m＝0与直线mx＋y－1＝0相交．若p∧q为真命题，则实数m的取值范围为________．【答案】(－∞，－2)∪(－2,1)【解析】当p是真命题时，有1－2＋m0，即m1；当q是真命题时，有2＋m≠0，即m≠－2.又p∧q为真命题，所以p是真命题且q是真命题，所以m1且m≠－2，所以实数m的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,1)．