2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.1 充分条件与必要条件 1.2.2 充

第一章常用逻辑用语1．2充分条件与必要条件1．2.1充分条件与必要条件1．2.2充要条件第一章常用逻辑用语考点学习目标核心素养充分条件、必要条件的概念理解充分条件、必要条件、充要条件的概念数学抽象充分条件、必要条件的判断结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法逻辑推理充分条件、必要条件的应用掌握证明充要条件的一般方法逻辑推理问题导学预习教材P9～P11，并思考下列问题：1．什么是充分条件？2．什么是必要条件？3．什么是充要条件？1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p___qp____q条件关系p是q的______条件q是p的______条件p不是q的______条件q不是p的______条件充分⇒/必要充分必要⇒■名师点拨对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释：①“若p，则q”形式的命题为真命题；②由条件p可以得到结论q；③p是q的充分条件或q的充分条件是p；④只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的；⑤q是p的必要条件或p的必要条件是q；⑥为得到结论q，具备条件p就可以推出．显然，“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同．[提醒]不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．2．充要条件如果既有p⇒q，又有q⇒p，则可以记作p⇔q，这时称p是q的______________，简称充要条件．充分必要条件■名师点拨(1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”．(2)要判断p是不是q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件．(3)对充分条件和必要条件的进一步划分：条件p与结论q的关系结论p⇒q，且q⇒/pp是q的充分不必要条件q⇒p，且p⇒/qp是q的必要不充分条件p⇒q，且q⇒p，即p⇔qp是q的充要条件p⇒/q，且q⇒/pp是q的既不充分也不必要条件判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．()(2)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．()(4)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()√√√√设a，b是实数，则“a＋b0”是“ab0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选D.若a＋b0，取a＝3，b＝－2，则ab0不成立；反之，若ab0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b0也不成立，因此“a＋b0”是“ab0”的既不充分也不必要条件．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是()A．x＝－12B．x＝－1C．x＝5D．x＝0答案：D“log3M＞log3N”是“M＞N”成立的________条件．答案：充分不必要充分、必要、充要条件的判断下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m＞0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)在△ABC中，p：A≠60°，q：sinA≠32；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．【解】(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)因为m＞0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m＞0，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0⇒/m＞0，所以p是q的充分不必要条件．(3)因为在△ABC中，A≠60°⇒/sinA≠32(A＝120°时，sinA＝32)，在△ABC中，sinA≠32⇒A≠60°，所以p是q的必要不充分条件．(4)因为四边形的对角线相等⇒/四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要条件．充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p⇒q，q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；若p⇒/q，q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合法对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件．(3)等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．1．(2018·高考天津卷)设x∈R，则“x－1212”是“x31”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由x－1212，得0x1，所以0x31，可以推出x31；由x31，得x1，不能推出0x1.所以“x－1212”是“x31”的充分不必要条件．故选A.2．(2019·南京高二检测)“直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋y2＝1相切”是“k＝－43”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.当k＝－43时，圆心(2，0)到直线y＝－43x＋1的距离为|－83＋1|－432＋（－1）2＝1，直线y＝－43x＋1与圆(x－2)2＋y2＝1相切，故必要性成立；若直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则k＝－43或k＝0，故充分性不成立，所以“直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋y2＝1相切”是“k＝－43”的必要不充分条件，故选C.已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．充分条件、必要条件、充要条件的应用【解】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有1－m≥－21＋m＜10或1－m＞－21＋m≤10，解得m≤3.又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}．(变问法)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．若p是q的充要条件，则－2＝1－m10＝1＋m，无解，所以m不存在．故不存在实数m，使得p是q的充要条件．由条件关系求参数的取值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．1．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为________．解析：化简p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，由于q是p的充分条件，故有a－4≤2，a＋4≥3，解得－1≤a≤6.答案：[－1，6]2．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．解析：p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－1a.由题意知p⇒/q，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－1a＝2或－1a＝－3，解得a＝－12或a＝13.综上可知，a＝－12或a＝13.答案：－12或13充要条件的证明已知x，y都是非零实数，且xy，求证：1x1y的充要条件是xy0.【证明】法一：充分性：由xy0及xy，得xxyyxy，即1x1y.必要性：由1x1y，得1x－1y0，即y－xxy0.因为xy，所以y－x0，所以xy0.所以1x1y的充要条件是xy0.法二：1x1y⇔1x－1y0⇔y－xxy0.由条件xy⇔y－x0，故由y－xxy0⇔xy0.所以1x1y⇔xy0.即1x1y的充要条件是xy0.充要条件的证明思路(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明：一般地，证明“p成立的充要条件为q”；①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明：充分性：(由ac0推证方程有一正根和一负根)因为ac0，所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac0，所以方程一定有两个不等实根．设两根为x1，x2，则x1x2＝ca0，所以方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac0)因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝ca0，即ac0.综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.1．设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.当a＝1时，N＝{1}，此时N⊆M；当N⊆M时，a2＝1或a2＝2，解得a＝1或－1或2或－2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．2．“tanα＝1”是“α＝π4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若tanα＝1，则α＝kπ＋π4(k∈Z)，对应集合A＝αα＝kπ＋π4，k∈Z，而α＝π4对应集合B＝αα＝π4.显然B是A的真子集，所以“tanα＝1”是“α＝π4”的必要不充分条件．3．(2018·高考浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.4．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1解析：选A.当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放