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1．1.3四种命题间的相互关系【课标要求】1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题.2.能够把一个“若p，则q”形式的命题熟练地写出其逆命题、否命题和逆否命题.3.掌握四种命题之间的关系及真假性之间的联系，会利用命题的等价性解决问题.自主学习基础认识|新知预习|1．四种命题的概念(1)互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的．结论和条件逆命题(2)互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的．(3)互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的．否命题逆否命题2．四种命题的相互关系|自我尝试|1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性()(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系()答案：(1)√(2)√2．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题解析：因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．答案：C3．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c23B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c23C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析：a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c23.答案：A4．设m∈R，命题“若m0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：由原命题和逆否命题的关系可知原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．答案：D5．命题“若a1，则a0”的逆命题是________，逆否命题是________．解析：逆命题：变换题设与结论逆否命题：先求逆命题，再否定．答案：若a0，则a1，若a≤0，则a≤1课堂探究互动讲练类型一四种命题的概念[例1]写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)垂直于同一平面的两直线平行；(2)若m·n0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．【解析】(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n0.否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0.方法归纳写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论；(2)将命题写成“若p，则q”的形式；(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)无理数的平方是有理数；(2)当x2＋x－6＝0时，x＝2或x＝－3.解析：(1)改写成“若一个数是无理数，则它的平方是有理数”．逆命题：若一个数的平方是有理数，则它是无理数．否命题：若一个数不是无理数，则它的平方不是有理数．逆否命题：若一个数的平方不是有理数，则它不是无理数．(2)逆命题：若x＝2或x＝－3，则x2＋x－6＝0.否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2且x≠－3.逆否命题：若x≠2且x≠－3，则x2＋x－6≠0.类型二四种命题真假的判断[例2]判断下列命题的真假．(1)“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；(2)“正三角形都相似”的逆命题；(3)“若m0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．【解析】(1)原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．(2)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”．假命题．(3)原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．因为方程x2＋x－m＝0无实根，所以判别式Δ＝1＋4m0，解得m－14，故m≤0，为真命题.方法归纳(1)由原命题写出其他三种命题，依次直接判断这四种命题的真假．(2)也可根据命题间的等价关系来判断命题的真假，注意：(3)四种命题中，真命题的个数只可能为0个，2个，4个.跟踪训练2设m，n是向量，命题“若m＝n，则|m|＝|n|”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数是()A．0B．1C．2D．4解析：原命题为真命题．逆命题：“若|m|＝|n|，则m＝n”为假命题，否命题：“若m≠n，则|m|≠|n|”为假命题．逆否命题：“若|m|≠|n|，则m≠n”为真命题．故四个命题中，真命题的个数是2.故选C.答案：C类型三等价命题的应用[例3]已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论．【解析】逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.为真命题．由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“若a＋b0，则f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)”为真命题．因为a＋b0，则a－b，b－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，则f(a)f(－b)，f(b)f(－a)，所以f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)．因此否命题为真命题，即逆命题为真命题.方法归纳由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.跟踪训练3证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.跟踪训练3证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n2，则m2＋n2≠2”．由于m＋n2，则m2＋n2≥12(m＋n)212×22＝2，所以m2＋n2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．|素养提升|1．四种命题的三个关注点(1)写原命题的逆命题时，不要交换命题的前提条件．(2)写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．(3)任何一个命题都包含条件和结论两部分，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题．因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．易错警示：对条件或结论进行否定时易出现错误．如“大于”的否定应是“不大于，即≤”；“都是”的否定为“不都是”等．2．对四种命题相互关系的三点认识(1)四种命题中原命题具有相对性，任意确定一个为原命题，其逆命题、否命题、逆否命题就确定了，所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性．(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中，有两对互逆命题，两对互否命题，两对互为逆否命题．它们分别为：①两对互逆命题：原命题与逆命题，否命题与逆否命题．②两对互否命题：原命题与否命题，逆命题与逆否命题．③两对互逆否命题：原命题与逆否命题，逆命题与否命题．(3)由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以原命题与其逆否命题是等价命题，因此当直接证明或判断原命题困难时，可以转化成证明其逆否命题．特别提醒：(1)利用四种命题间的关系，判断四种命题的真假时，只需判断两个命题的真假即可．(2)若命题的叙述是否定性的语言或含有“至多”“至少”等词语时，往往转化为判断其逆否命题的真假更方便．|巩固提升|1．下列说法中，不正确的是()A．“若p，则q”与“若q，则p”是互逆命题B．“若綈p，则綈q”与“若q，则p”是互否命题C．“若綈p，则綈q”与“若p，则q”是互否命题D．“若綈p，则綈q”与“若q，则p”互为逆否命题解析：原命题与逆命题、否命题与逆否命题是互逆命题，原命题与否命题、逆命题与逆否命题是互否命题，原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为逆否命题．根据四种命题的形式可知，A，C，D正确，B不正确．答案：B2．命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tanα≠1B．若α＝π4，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠π4D．若tanα≠1，则α＝π4解析：否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确．答案：C3．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________．解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．答案：假命题