搜索
第一章常用逻辑用语1．1.2四种命题1．1.3四种命题间的相互关系第一章常用逻辑用语考点学习目标核心素养四种命题了解命题的原命题、逆命题、否命题与逆否命题数学抽象四种命题的关系理解四种命题之间的关系，会利用互为逆否命题的等价关系判断命题的真假逻辑推理四种命题关系的应用能够利用命题的等价性解决有关问题逻辑推理问题导学预习教材P4～P8，并思考下列问题：1．一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？2．什么样的两个命题有相同的真假性？3．两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？1．四种命题(1)原命题与逆命题(2)原命题与否命题(3)原命题与逆否命题■名师点拨(1)“逆命题、否命题、逆否命题”都是相对于原命题而言的，都是相对概念，如命题“若x≠2，则x2≠4”相对于命题“若x＝2，则x2＝4”是否命题，而相对于命题“若x2＝4，则x＝2”则是逆否命题.(2)互逆命题、互否命题、互为逆否命题都是说两个命题之间的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题，即要充分理解“互为”的相对性．(3)不是“若p，则q”形式的命题，最好先改写成“若p，则q”的形式，然后讨论其他三种命题，这样容易分清条件和结论．2．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况原命题逆命题否命题逆否命题真真______真假______假真______假假______(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．真真假真真假假假■名师点拨因为原命题与逆否命题有相同的真假性，逆命题与否命题有相同的真假性，所以四种命题中真命题的个数一定为偶数，即真命题的个数只可能为0，2，4.根据四种命题中真命题的个数只可能为0，2，4，可以检验写出的逆命题、否命题、逆否命题是否正确．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．()(2)两个互逆命题的真假性相同．()(3)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．()√×√“若x2＝1，则x＝1”的否命题为()A．若x2≠1，则x＝1B．若x2＝1，则x≠1C．若x2≠1，则x≠1D．若x≠1，则x2≠1答案：C设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b解析：选D.条件“a＝－b”和结论“|a|＝|b|”互换后得到逆命题：若|a|＝|b|，则a＝－b.故选D.命题“若|a|＝|b|，则a＝b”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0B．1C．2D．4解析：选C.原命题是假命题，则逆否命题也是假命题．逆命题：若a＝b，则|a|＝|b|，是真命题，因此否命题也是真命题．所以四个命题中真命题的个数为2.命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是________________，逆否命题是________________．答案：若a＞0，则a＞1若a≤0，则a≤1写原命题的其他三种命题把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)全等三角形的三边对应相等；(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.【解】(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0；逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论．(2)将命题写成“若p，则q”的形式．(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题．[注意]如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．1．原命题“若x≤－3，则x＜0”的逆否命题是()A．若x＜－3，则x≤0B．若x＞－3，则x≥0C．若x≥0，则x＞－3D．若x＜0，则x≤－3解析：选C.易知原命题的逆否命题是“若x≥0，则x＞－3”．2．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若k0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0必有两个相异实根；(2)在平面中，四条边都相等的四边形是菱形．解：(1)逆命题：若方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0有两个相异实根，则k0.否命题：若k≤0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0没有两个相异实根．逆否命题：若方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0没有两个相异实根，则k≤0.(2)原命题可以写成：在平面中，若一个四边形的四条边都相等，则它是菱形．逆命题：在平面中，若一个四边形是菱形，则它的四条边都相等．否命题：在平面中，若一个四边形四条边不都相等，则它不是菱形．逆否命题：在平面中，若一个四边形不是菱形，则它的四条边不都相等．四种命题的关系及真假判断下列命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．其中是真命题的是________．【解析】①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题，所以真命题是①②③.【答案】①②③(1)四种命题关系判断的两个要领①在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件和结论，再比较每个命题的条件和结论之间的关系；②原命题与逆否命题互为逆否命题，逆命题与否命题也互为逆否命题．(2)判断四种命题真假的方法①要正确理解四种命题间的相互关系；②正确利用相关知识进行判断推理；③若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．1．(2019·长春外国语学校高二检测)下列命题为真命题的是()A．命题“若x1，则x21”的逆命题B．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题C．命题“若x20，则x－1”的逆否命题D．命题“若xy，则x|y|”的逆命题解析：选D.命题“若x1，则x21”的逆命题是“若x21，则x1”，为假命题；命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题是“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，为假命题；命题“若x20，则x－1”的逆否命题是“若x≤－1，则x2≤0”，为假命题；命题“若xy，则x|y|”的逆命题是“若x|y|，则xy”，为真命题，选D.2．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q≤94，则方程x2＋3x＋q＝0有实根；(2)若ab＝0，则a，b中至少有一个为0.解：(1)逆命题：若方程x2＋3x＋q＝0有实根，则q≤94.真命题．否命题：若q＞94，则方程x2＋3x＋q＝0无实根．真命题．逆否命题：若方程x2＋3x＋q＝0无实根，则q＞94.真命题．(2)逆命题：若a，b中至少有一个为0，则ab＝0.真命题．否命题：若ab≠0，则a，b均不为0.真命题．逆否命题：若a，b均不为0，则ab≠0.真命题．等价命题的应用判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”的真假．【解】原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7＞0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真，从而原命题为真．等价命题的应用原则(1)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．(2)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b0，则f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)”．若a＋b0，则a－b，b－a.又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)f(－b)，f(b)f(－a)，所以f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．所以原命题为真命题．1．已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥12”的否命题是()A．若a2＋b2＜12，则a＋b≠1B．若a＋b＝1，则a2＋b2＜12C．若a＋b≠1，则a2＋b2＜12D．若a2＋b2≥12，则a＋b＝1解析：选C.将原命题的条件与结论同时否定，得否命题为“若a＋b≠1，则a2＋b2＜12”．故选C.2．与命题“若m∈M，则n∉M”等价的命题是()A．若m∈M，则n∈MB．若n∉M，则m∈MC．若m∉M，则n∈MD．若n∈M，则m∉M解析：选D.互为逆否命题的两个命题是等价命题，“若m∈M，则n∉M”的逆否命题是“若n∈M，则m∉M”．3．已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a的平方等于0，则a不是正数，则p是q的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选C.根据四种命题的关系，知“正数a的平方不等于0”的逆否命题是“若a的平方等于0，则a不是正数”．4．给出下列命题：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．答案：②和④，③和⑥①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放