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一、命题1．命题的定义可以判断、用或表述的语句叫作命题，其中判断为的命题叫作真命题；判断为的命题叫作假命题．2．命题的形式一个命题由和两部分组成．数学中，通常把命题表示为“”的形式，其中是条件，是结论．真假文字符号真假条件结论若p，则qpq二、四种命题一般地，对于两个命题1．若一个命题的恰好是另一个命题的，我们把这样的两个命题叫作互为逆命题．若把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的．2．若一个命题的恰好是另一个命题的，我们把这样的两个命题叫作．若把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的．3．若一个命题的恰好是另一个命题的，我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题．若把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的．条件和结论结论和条件逆命题条件和结论条件的否定和结论的否定互为否命题否命题条件和结论结论的否定和条件的否定逆否命题三、四种命题之间的关系[疑难提示]一个语句是命题，必须具备两个特征(1)是陈述句，祈使句、疑问句、感叹句等一般都不是命题；(2)可以判断真假，这个语句是对还是错是唯一确定的，不能模棱两可．[想一想]1．命题“正方形是平行四边形”的结论和条件各是什么？提示：条件：一个四边形是正方形．结论：这个四边形是平行四边形．[练一练]2．下列语句是命题的是()A．p(x)：x2－1＝0B．q(x)：5x是5的倍数C．三角函数是周期函数吗？D．对所有整数x,5x－1是整数解析：只有D能判断为真命题．A中x＝±1时，x2－1＝0为真，x≠±1时，x2－1＝0为假．所以选项A无法判断真假．选项B中，x可能是小数，所以B也不能判断真假．选项C是疑问句，不涉及真假．答案：D3．一个命题及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中()A．真命题的个数一定是奇数B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D．以上判断都不正确解析：因为原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题也互为逆否命题，它们也同真同假，所以四种命题中，真命题个数为0或2或4，都是偶数个．答案：B4．命题“奇函数的定义域和图像均关于原点对称”的条件p是__________，结论q是_______________________________________________．解析：将题中命题写成“若p，则q”的形式：若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图像均关于原点对称．答案：一个函数是奇函数这个函数的定义域和图像均关于原点对称探究一判断命题的真假[典例1]判断下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由．(1)奇数的平方仍是奇数．(2)两条对角线垂直的四边形是菱形．(3)所有的质数都是奇数．(4)5x4x.(5)若x∈R，则x2＋4x＋70.(6)未来是多么美好啊！(7)你是高二的学生吗？(8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数．[解析](1)是命题，而且是真命题．(2)是命题，而且是假命题．如图所示，四边形ABCD，若AB＝AD≠BC＝CD时，对角线AC也垂直于对角线BD.(3)是命题，而且是假命题．因为2是质数，但不是奇数．(4)不是命题．因为x是未知数，不能判断不等式的真假．(5)是命题，而且是真命题．因为对于x∈R，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋30，不等式恒成立．(6)是感叹句，不涉及真假，不是命题．(7)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(8)是命题，而且是假命题．如x＝2，y＝－2，x＋y＝0是有理数，而x，y都是无理数．1．判断一个语句是否是命题，关键看这个语句是否具备命题的两个特征：一是陈述句，二是能判断真假．2．在说明一个命题为真命题时，应进行严格的推理证明；而要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．1．给出下列命题：①函数y＝sinx的最小正周期是π；②函数y＝2x3是指数函数；③一次函数y＝x＋1的图像与x轴的交点为(－1,0)；④f(x)＝x2在R上是增函数．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：函数y＝sinx的最小正周期为T＝2π1＝2π，所以①是假命题；易知②是假命题；令x＋1＝0，得x＝－1，故一次函数y＝x＋1的图像与x轴的交点为(－1,0)，所以③是真命题；易知f(x)＝x2在R上不是增函数，所以④是假命题．故选C.答案：C2．下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由．(1)一个数不是合数就是质数．(2)x≥16.(3)一个实数不是正数就是负数．(4)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根．(5)空集是任何非空集合的真子集．(6)指数函数是增函数吗？解析：(1)是假命题．例如：1既不是质数也不是合数．(2)不是命题．因为没有给定变量x的值，无法确定其真假．(3)是假命题．因为0既不是正数也不是负数．(4)是真命题．代入验证即可．(5)是真命题．由空集的定义和性质不难得出．(6)不是命题．因为无法判断真假．探究二四种命题的关系[典例2]用“若p，则q”的形式写出下列命题及其逆命题，否命题和逆否命题，并判断真假．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．(2)如果x8，那么x0.(3)当x＝－1时，x2－x－2＝0.[解析](1)原命题：若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；真命题．逆命题：若一个四边形是圆的内接四边形，则这个四边形的对角互补；真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形；真命题．逆否命题：若一个四边形不是圆的内接四边形，则这个四边形的对角不互补；真命题．(2)原命题：若x8，则x0；真命题．逆命题：若x0，则x8；假命题．否命题：若x≤8，则x≤0；假命题．逆否命题：若x≤0，则x≤8；真命题．(3)原命题：若x＝－1，则x2－x－2＝0；真命题．逆命题：若x2－x－2＝0，则x＝－1；假命题．否命题：若x≠－1，则x2－x－2≠0；假命题．逆否命题：若x2－x－2≠0，则x≠－1；真命题．1．由原命题得到逆命题、否命题、逆否命题的方法：(1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．2．原命题与其逆否命题真假相同；逆命题与否命题真假相同．3．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．解析：(1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn0.否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.4．写出命题“若定义在R上的函数f(x)，g(x)都是奇函数，则函数F(x)＝f(x)·g(x)是偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解析：逆命题：已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，若函数F(x)＝f(x)·g(x)是偶函数，则函数f(x)，g(x)都是奇函数．该命题是假命题．否命题：若定义在R上的函数f(x)，g(x)不都是奇函数，则函数F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函数．该命题是假命题．逆否命题：已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，若函数F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函数，则函数f(x)，g(x)不都是奇函数．该命题是真命题．探究三等价命题的应用等价命题的应用——判断命题的真假—证明命题—解决推理问题5．判断命题“若a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形”的真假．解析：先判断它的逆否命题的真假．原命题的逆否命题为“若△ABC是直角三角形，则a2＋b2＝c2”，显然它是假命题，又因为逆否命题与原命题等价，所以原命题为假命题．6．已知a，b∈R，求证：若a3＋b3＋3ab≠1，则a＋b≠1.证明：原命题证明较困难，故可改证它的等价命题(逆否命题)：已知a，b∈R，若a＋b＝1，则a3＋b3＋3ab＝1.因为a＋b＝1，所以a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1，所以原命题成立．7．现有张三、李四、王五三人，张三说：“李四在说谎”，李四说：“王五在说谎”，王五说：“张三、李四都在说谎”，请问：张三、李四、王五谁在说谎，谁说的是真话？解析：设张三为A，李四为B，王五为C，说真话为1，说谎话为0.(1)若A＝1，即张三说真话，由于张三说：“李四在说谎”，所以B＝0，而李四说：“王五在说谎”，但李四说假话，所以王五说真话，C＝1；由于王五说：“张三和李四都在说谎”，即A＝0，B＝0与A＝1矛盾．所以A＝1时，问题无解．(2)若张三说假话，即A＝0.由于张三说：“李四在说谎”，可知李四说真话，即B＝1，由李四说：“王五在说谎”知C＝0，由于王五说：“张三、李四都在说谎”，且C＝0，可得A＝0，B＝1或A＝1，B＝0或A＝1，B＝1，只要这三种情况有一种成立，就说明王五说的是假话．因为这三种情况至少有一人说的是真话，由这三种情况可挑选出A＝0，B＝1，C＝0符合要求．所以张三、王五说假话，李四说真话．等价命题的应用[典例]证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.[证明]“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．因为a＝2b＋1，所以a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.所以命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．[感悟提高]当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．