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章末复习知识系统整合规律方法收藏1．命题(1)判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合是“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有同时满足这两个条件的才是命题．(2)一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可，无法判断其真假．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题的真假的办法是：①若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p，则q”是真；确定“若p，则q”为假，则只需举一个反例说明．②从集合的观点看，我们建立集合A，B与命题中的p，q之间的一种特殊联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是全体能使条件p成立的对象x所构成的集合，B是全体能使条件q成立的对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真(意思就是“使p成立的对象也使q成立”)，当且仅当A⊆B时满足．(3)若将含有大前提的命题改写为“若p，则q”的形式时，大前提不变，仍作为大前提，不能写在条件p中．(4)当一个命题的真假不易判断时，往往可以判断原命题的逆否命题的真假，从而判断出原命题的真假．(5)注意否命题与命题的否定是不同的，若p表示命题，“非p”叫做命题的否定．如果原命题是“若p，则q”，否命题是“若綈p，则綈q”，而命题的否定是“若p，则綈q”，即只否定结论．2．逻辑联结词“或”“且”“非”真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，要掌握以下规律：(1)“非p”形式的复合命题的真假与命题“p”的真假相反；(2)“p或q”形式的复合命题只有当命题“p”与命题“q”同时为假时才为假，否则为真；(3)“p且q”形式的复合命题只有当命题“p”与命题“q”同时为真时才为真，否则为假．3．全称命题与特称命题的真假判断及联系(1)要判定全称命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．(3)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此，我们可以通过“举反例”来否定一个全称命题．学科思想培优一、四种命题及其关系由原命题构成逆命题只要将p和q换位就可以．由原命题构成否命题只要将p和q分别否定为綈p和綈q，但p和q不必换位．由原命题构成逆否命题时，不但要将p和q换位，而且要将换位后的p和q否定．原命题为真，它的逆命题不一定为真．原命题为真，它的否命题不一定为真．原命题为真，它的逆否命题一定为真．因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个，逆命题和否命题中的一个．只讨论两种就可以了，不必对四种命题形式一一加以讨论．[典例1]π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.(1)写出綈p并判断真假；(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．解(1)綈p：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．因为a，b，c，d∈Q，又aπ＋b＝cπ＋d，所以π(a－c)＝d－b∈Q，则a＝c且b＝d.故p是真命题，所以綈p是假命题．答案(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题．否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d”．真命题．逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”．真命题．答案拓展提升1.写四种命题的步骤(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理解基础．二、充要条件充要条件是数学中的一个重要概念，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识．高考对充要条件的考查主要以其他知识为载体进行两类问题的考查：一类是充要条件的判别；一类是有关充要性命题的证明，尤以考查充要条件的判别为主．下面就介绍几种充要条件的判定方法．1．直接用定义判定能够保证一个事件一定发生的条件，叫做这个事件发生的充分条件；一个事件要发生必须具备的条件叫做这个事件发生的必要条件；一个条件既能保证某个事件发生，同时又是这个事件发生必须具备的条件，就叫做这个事件发生的充要条件．在实际应用中，体现充要条件的文字还有“当且仅当”“有且仅有”“必需且只需”等语句．用逻辑符号表示为：(1)若p⇒q，且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；(2)若q⇒p，且p⇒/q，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件；(3)若p⇒q，且q⇒p(或綈p⇒綈q)，则p是q的充要条件(此时q也是p的充要条件)；(4)若p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．[典例2]设a，b是向量．则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案D解析取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.答案解析拓展提升充要条件的判断方法判断充分必要条件时关键是要分清命题的条件与结论，如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的特例来说明．2．利用命题的四种形式进行判定(1)如果原命题成立，逆命题不成立，则原命题的条件是充分不必要的；(2)如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要不充分的；(3)如果原命题和它的逆命题都成立，则原命题的条件是充要的；(4)如果原命题和它的逆命题都不成立，则原命题的条件是既不充分也不必要的．[典例3]记p：m＋n∉Z，q：m∉Z或n∉Z，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析綈p为：m＋n∈Z，綈q为：m∈Z且n∈Z，显然綈p⇒/綈q，綈q⇒綈p，因此：q⇒/p，p⇒q，p是q的充分不必要条件．答案解析拓展提升像这种条件和结论均是否定形式的命题，判断起来不习惯，可先将命题进行等价转化，将否定形式转化为肯定形式再进行判断，从而使问题得以顺利解决．3．利用集合的关系判定(1)若A⊆B，就是x∈A则x∈B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；(2)若AB，就是x∈A则x∈B，且B中至少有一个元素不存在于A，则A是B的充分不必要条件，B是A的必要不充分条件；(3)若A＝B，就是A⊆B且A⊇B，则A是B的充分条件，同时A是B的必要条件，即A是B的充要条件；(4)若A⃘B，A⊉B，则A是B的既不充分也不必要条件．[典例4]已知命题p：(x－3)(x＋1)0，命题q：x2－2x＋1－m20(m0)，若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数m的范围．解p：(x－3)(x＋1)0⇔x－1或x3，q：x2－2x＋1－m20⇒x－m＋1或xm＋1，他们的取值范围分别用集合A，B表示，由题意知AB，∴－m＋1≥－1，m＋1≤3，其中等号不能同时成立，∴m2，又m0，∴0m2.答案4．利用双箭头的传递判定由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系．[典例5]已知α是β的充要条件，δ是γ的必要条件，同时又是β的充要条件，试求α与γ的关系．解由已知α⇔β，γ⇒δ，δ⇔β，所以γ⇒δ⇔β⇔α，因此γ⇒α，所以γ是α的充分条件或α是γ的必要条件．答案拓展提升逻辑联结符号能清晰地描述题目中已知条件间的关系，使题目简单明了，是判断充要条件的一种重要方法．三、简单的逻辑联结词“且”“或”“非”复合命题的真假，要根据真值表准确判断，而知道复合命题的真假，也要能准确得出简单命题p，q的真假，在这个过程中，可以大胆假设推测，以便最后能确定，有些情况下推出的结果可能不唯一，要反过来检验．[典例6]已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R；x3＝1－x2，则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．(綈p)∧qC．p∧(綈q)D．(綈p)∧(綈q)答案B解析对于命题p，当x≤0,2x≥3x，故p为假命题，綈p为真命题；对于命题q，分别作出函数y＝x3和y＝1－x2的图象(图略)，易知q为真命题．所以p∧q为假，(綈p)∧q为真，p∧(綈q)为假，(綈p)∧(綈q)为假．答案解析拓展提升1.p∧q只有在p，q均为真命题时才是真命题，而p∨q在p，q均为假命题时才是假命题．解此类题目，要先判断p，q的真假．2．“p∨q”成立有三种情形：只有p成立，只有q成立，p，q同时成立，这三种情况依次对应于集合并集中的(∁UB)∪A，(∁UA)∪B，A∪B.四、全称命题与特称命题含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题，此部分是新教材改革后新增加的内容，在高考题中很容易出现，多以选择题和填空题为主．[典例7]在下列命题中，真命题的个数是()①∀x∈R，x2＋x＋30；②∀x∈Q，13x2＋12x＋1是有理数；③∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；④∃x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10.A．1B．2C．3D．4答案D解析①中，x2＋x＋3＝x＋122＋1140，故①是真命题；②中，∵x∈Q，∴13x2＋12x＋1是有理数，故②是真命题；③中，当α＝π4，β＝－π4时，结论成立，故③是真命题；④中，当x0＝4，y0＝1时，结论成立，故④是真命题．由以上可知，正确选项为D.答案解析拓展提升解决全称与特称命题的两种思路解决含有全称命题与特称命题的问题需要注意两个方面：一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆；二是要掌握判断全称命题与特称命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明特称命题为真．本课结束