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课后课时精练2A级：基础巩固练一、选择题1．下列命题是特称命题的是()A．任何一个数列都有通项公式B．每一个向量都有方向C．偶函数的图象关于y轴对称D．存在实数不小于3答案D解析A，B，C是全称命题，D是特称命题．答案解析32．“存在集合A，使∅A”，对这个命题，下面说法中正确的是()A．全称命题、真命题B．全称命题、假命题C．特称命题、真命题D．特称命题、假命题答案C解析当A≠∅时，∅A，是特称命题，且为真命题．答案解析43．下列命题中，不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数答案D解析D项是特称命题．答案解析54．下列命题中的真命题是()A．∃x0∈R，使得sinx0＋cosx0＝3B．∀x∈(0，＋∞)，ex＞x＋1C．∃x0∈(－∞，0)，2x0＜3x0D．∀x∈(0，π)，sinx＞cosx答案B答案6解析sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤2，所以排除A；令f(x)＝ex－x－1,f′(x)＝ex－1＞0对于x∈(0，＋∞)恒成立．所以f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＞f(0)＝0恒成立，故B正确；因为当x0∈(－∞，0)时，2x03x0＝23x0＞1，所以2x0＞3x0，故C错误；x＝π4时，sinx＝cosx，故D错误．解析75．命题p：∃x∈N，x3x2；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝loga(x－1)的图象过点(2,0)，则()A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真答案A解析当x＝0或1时，x3＝x2，当x1时，x3x2，所以不存在x∈N使x3x2，所以p是假命题．因为f(2)＝loga(2－1)＝loga1＝0，所以q是真命题．故选A.答案解析86．不等式组x＋y≥1，x－2y≤4的解集为D，有下列四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中真命题是()A．p1，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p2，p3答案C答案9解析如图所示，阴影区域是不等式组x＋y≥1，x－2y≤4所表示的平面区域．解析10设z＝x＋2y，则y＝－x2＋z2，则直线y＝－x2＋z2的纵截距z2最小时，z取最小值，结合图形可知，当直线y＝－x2＋z2过点A(2，－1)时，z取得最小值，zmin＝2＋2×(－1)＝0，直线y＝－x2＋z2上移过程中纵截距z2不断增大，故z无最大值，即z∈[0，＋∞)，故p1，p2正确，p3，p4错误．解析11二、填空题7．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为________．答案∀x≤0，x3≤0解析命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x≤0，x3≤0.答案解析128．若命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”为真命题，则a的取值范围是________．答案[e，＋∞)解析因为函数y＝ex在[0,1]上为增函数，所以1≤y≤e，若p为真，则a≥(ex)max＝e.答案解析139．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________．答案a－2或a＝1答案14解析∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，当x∈[1,2]时恒成立，所以a≤1.∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0.所以a≤－2或a≥1.又p∧q为真，故p，q都为真，所以a≤1，a≤－2或a＝1，所以a≤－2或a＝1.解析15三、解答题10．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．16解(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．答案17B级：能力提升练已知命题p：∀x∈R，x2＋mx＋10，命题q：∃x∈R使4x－2x＋1＋m＝0，若p∧q为真命题，求实数m的取值范围．18解若p为真，则Δ＝m2－40，得－2m2；若q为真，则4x－2x＋1＋m＝0有实数解，令m＝－(4x－2x＋1)＝－(2x－1)2＋1≤1.∴m≤1.又p∧q为真命题，∴p，q均为真命题．∴m≤1，－2m2，∴－2m≤1.答案本课结束