2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑术语 1.2 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条

课后课时精练2A级：基础巩固练一、选择题1．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A答案3解析若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．解析42．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析∵綈p是q的必要而不充分条件，∴q⇒綈p，但綈p⇒/q，其逆否命题为p⇒綈q，但綈q⇒/p，因为原命题与其逆否命题是等价命题．故选A.答案解析53．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析f(x)是奇函数时，φ＝π2＋kπ(k∈Z)；φ＝π2时，f(x)＝Acosωx＋π2＝－Asinωx，为奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件．故选B.答案解析64．已知直线l1：ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，则“a＝－2”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析直线l1⊥l2的充要条件是a＋a(a＋1)＝0，解得a＝0或a＝－2，所以“a＝－2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．答案解析75．已知不等式|x－m|1成立的充分不必要条件是13x12，则实数m的取值范围是()A.－43，12B.－12，43C.－∞，－12D.43，＋∞答案B答案8解析由题易知不等式|x－m|1的解集为{x|m－1xm＋1}，从而有{x|m－1xm＋1}13，12，∴m＋112，m－113，解得－12m43，而m＋1＝12与m－1＝13不同时成立，∴m＝－12及m＝43亦满足题意，∴－12≤m≤43.故选B.解析96．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析由题意得，an＝a1qn－1(a10)，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)．若q0，因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n0，即a1q2n－2(1＋q)0，可得q－10.故“q0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n0”的必要而不充分条件．故选C.答案解析10二、填空题7．设函数f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，则a＋2b0是f(x)0在[0,1]上恒成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案必要不充分解析由f00，f10⇒b0，a＋b0.⇒a＋2b0.而仅有a＋2b0，无法推出f(0)0和f(1)0同时成立．答案解析118．已知a，b为两个非零向量，有以下命题：①a2＝b2；②a·b＝b2；③|a|＝|b|且a∥b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的命题是________．(将所有正确命题的序号填在题中横线上)答案①②③解析显然a＝b时①②③均成立，即必要性成立．当a2＝b2时，(a＋b)·(a－b)＝0，不一定有a＝b；当a·b＝b2时，b·(a－b)＝0，不一定有a＝b；|a|＝|b|且a∥b时，a＝b或a＝－b，即①②③都不能推出a＝b.答案解析12三、解答题9．已知条件p：|x－1|＞a和条件q：2x2－3x＋1＞0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.解依题意a＞0.由条件p：|x－1|＞a得x－1＜－a或x－1＞a，所以x＜1－a或x＞1＋a，由条件q：2x2－3x＋1＞0得x＜12或x＞1.要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有答案131－a≤12，1＋a≥1，解得a≥12.令a＝1，则p：x＜0或x＞2，此时必有x＜12或x＞1.即p⇒q，反之不成立．所以，使p是q的充分不必要条件的最小正整数a＝1.答案14B级：能力提升练设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.15证明必要性：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根ξ，则ξ2＋2aξ＋b2＝0ξ2＋2cξ－b2＝0⇒ξ＝－b2a－c＝b2c－a.∴b2c－a2＋2c·b2c－a－b2＝0⇒a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°.充分性：若∠A＝90°，则a2＝b2＋c2，易得x0＝b2c－a是方程的公共根．综上可知，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.答案本课结束