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1．1.2四种命题1．1.3四种命题间的相互关系课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．四种命题的定义名称定义互逆命题叫做互逆命题．其中，一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的□01对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题□02逆命题课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练名称定义互否命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的互为逆否命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的□03对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题□04否命题□05对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题□06逆否命题课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．四种命题的结构形式和关系课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有的真假性．(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性．□10相同□11没有关系课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有的命题没有逆命题．()(2)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．()(3)原命题的否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．()答案(1)×(2)√(3)√答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)(教材改编P6T(3))命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)若a＝0，则ab＝0的逆命题是__________________________________．(3)若命题r的否命题为“若綈p，则q”，那么原命题r为________．(4)若a＝b，则|a|＝|b|的逆否命题是_______________________________．答案(1)B(2)若ab＝0，则a＝0(3)“若p，则綈q”(4)若|a|≠|b|，则a≠b答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析(1)原命题的条件是f(x)是奇函数，结论是f(－x)是奇函数，同时否定条件和结论即得否命题为若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数.解析课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1写出一个命题的其他三种命题例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等；(4)在△ABC中，当AB＝AC时，∠B＝∠C.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．(4)原命题：“在△ABC中，若AB＝AC，则∠B＝∠C”．逆命题：“在△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC”．否命题：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”．逆否命题：“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论；(2)将命题写成“若p，则q”的形式；(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题．注意：如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：(1)若x－2，则x＋30；(2)两条对角线相等的四边形是矩形．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)逆命题：若x＋30，则x－2；否命题：若x≤－2，则x＋3≤0；逆否命题：若x＋3≤0，则x≤－2.(2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．逆命题：若一个四边形是矩形，则其两条对角线相等；否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2四种命题的真假判断课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练例2命题：已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．[解]逆命题：已知a，b为实数，若a2－4b≥0，则x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0解集为空集，则a2－4b0.逆否命题：已知a，b为实数，若a2－4b0，则x2＋ax＋b≤0解集为空集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[条件探究]如果把例2中的“x2＋ax＋b≤0”改为“x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0”，试写出一个正确的原命题，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解原命题：已知a为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥74，是真命题．逆命题：已知a为实数，若a≥74，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，是真命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练否命题：已知a为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，则a74，是真命题．逆否命题：已知a为实数，若a74，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，是真命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升命题真假的判断方法(1)由原命题写出其他三种命题，依次直接判断这四种命题的真假．(2)也可根据命题间的等价关系来判断命题的真假，注意：原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假．(3)四种命题中，真命题的个数只可能为0个、2个、4个．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】判断下列命题的真假：(1)命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题；(2)“若ab，则a＋cb＋c”的否命题；(3)“矩形的对角线相等”的逆命题；(4)“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)由A∩B＝B，知B⊆A，原命题为假命题，故逆否命题为假命题．(2)否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题．(3)逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．(4)否命题为“若xy≠0，则x，y都不为零”，是真命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3等价命题的应用例3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解]解法一：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断过程如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.若a1，则4a－70.∴抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故逆否命题为真命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解法二：先判断原命题的真假．∵a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，∴4a－7≥0，得a≥74，从而a≥1成立．∴原命题为真命题．又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升“正难则反”的处理原则(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．(2)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”，写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.它为真命题．可通过证明原命题为真命题来证明它，证明如下：∵a＋b≥0，则a≥－b，b≥－a.∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题．∴它的逆否命题为真命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.正确写一个命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，然后按照定义写出命题，但要注意命题中的量词与它的否定词语的正确转换.(2)对于不是“若p，则q”形式的命题，要写出其他三种命题，应先把它改写成“若p，则q”的形式，以分清原命题的条件与结论.(3)当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提始终不变.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2.四种命题中真命题个数的探究因为原命题与逆否命题有相同的真假性，逆命题与否命题有相同的真假性，所以四种命题中真命题的个数一定为偶数，即真命题的个数只可能为0,2,4.可依据此结论，检验写出的逆命题、否命题、逆否命题是否正确.3.逆否证法互为逆否命题的两个命题同真同假，也称为等价命题，所以在直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接证明原命题为真命题.课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是()A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠AD．若A∪B≠A，则A∩B＝B答案A解析命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，故A正确．答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题答案C解析显然原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题，若m2＝100，则m＝±10，所以逆命题是假