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第1页§5不等式的应用第2页知识探究第3页不等式的应用(1)应用不等式解决问题的关键是如何把等量关系、不等式关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解决应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．(2)应用不等式知识解题时，建立不等关系的途径有：利用几何意义，利用判别式，应用变量的有界性，应用函数的单调性，应用平均值不等式．求最值和确定参数的取值范围，这些都是需要建立不等关系的问题．第4页1.不等式的解法的应用在求函数的定义域、值域、单调性问题时常转化为求适合条件的不等式的解集．第5页2．在实际应用问题中的求解多数不等式应用题与函数、数列、几何进行综合，求最优化问题，如用料最省，体积最大，效益最高等．常见的不等式模型有一次不等式、二次不等式，以及与函数y＝ax＋bx相联系的不等式等．第6页(1)应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．(3)应用不等式知识解题时，建立不等式关系的途径有：①利用几何意义；②利用判别式；③应用变量的有界性；④应用函数的单调性；⑤应用平均值不等式．第7页求最值和确定参数的取值范围等，都是典型的需要建立不等关系的问题．(3)不等式应用的特点是：①问题的背景一般是人们关心的社会热点问题，如物价、税收、销售、市场信息，特别是最优化问题；②题目往往篇幅较长，因而要静下心来仔细阅读题目，透彻理解题意；③对于实际应用题，常需引入恰当的未知数，并用它来表示其他的变量，进而列出不等式或函数关系，在利用不等式知识求解后，注意还原实际问题.第8页课时学案第9页题型一平均值不等式在求最值中的应用例1已知x，y∈(0，＋∞)，且8x＋2y＝1，求x＋y的最小值．【思路】本题可以利用平均值不等式求最值．也可以转化为求函数的最值．第10页【解析】因为8x＋2y＝1，所以x＋y＝(x＋y)(8x＋2y)＝8yx＋2xy＋10≥28yx×2xy＋10＝18.当且仅当8yx＝2xy，即x＝2y时“＝”成立．由8x＋2y＝1，得x＝12，y＝6.所以当x＝12，y＝6时，x＋y最小，最小值为18.【答案】18第11页探究1用平均值不等式求最值是高中数学的一个重点．用它求最值一般需要三个条件：各项的值为正(俗称“一正”)，和或积为定值(俗称“二定”)，存在“＝”成立的条件(俗称“三相等”)．这三个条件中相等的条件容易被忽略，只有当“＝”能够成立时才能取得最值．第12页思考题1求下列各式的最值：已知x0，y0，且3x＋4y＝12，求lgx＋lgy的最大值及此时x，y的值．第13页【解析】因为x0，y0，3x＋4y＝12.所以xy＝112·3x·4y≤112(3x＋4y2)2＝3.所以lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg3.由x0，y0，3x＋4y＝12，3x＝4y，解得x＝2，y＝32.所以当x＝2，y＝32时，lgx＋lgy取得最大值lg3.第14页题型二应用不等式解决恒成立问题例2设abc，且1a－b＋1b－c≥ma－c恒成立，则m的取值范围是________．第15页【思路】要求出参数m的取值范围，就需要将m表示出来，根据a－c0，可得m≤(a－c)(1a－b＋1b－c)恒成立，因此拆项利用基本不等式求出其最值，得出m的取值范围．第16页【解析】因为a－c0，所以m≤(1a－b＋1b－c)(a－c)因为abc，所以a－b0，b－c0，a－c0.所以(a－c)(1a－b＋1b－c)＝[(a－b)＋(b－c)]·(1a－b＋1b－c)≥2（a－b）（b－c）·21a－b·1b－c＝4.当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以要使原不等式恒成立，只需m≤4.故m的取值范围为(－∞，4]．第17页【答案】(－∞，4]第18页探究2(1)不等式恒成立求参数的一般步骤：①变量分离，表示参数；②求出最值；③比较最值，求出参数范围．第19页(2)几个常见的有关不等式的恒成立的等价命题：①af(x)恒成立⇔af(x)max；②af(x)恒成立⇔af(x)min；③af(x)有解⇔f(x)min；④af(x)有解⇔f(x)max.第20页思考题2(2014·重庆)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋12a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．第21页【解析】|2x－1|＋|x＋2|＝|x－12|＋(|x－12|＋|x＋2|)≥0＋|(x－12)－(x＋2)|＝52，当且仅当x＝12时取等号，因此函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值是52.所以a2＋12a＋2≤52，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤12，即实数a的取值范围是[－1，12]．【答案】[－1，12]第22页题型三不等式的实际应用例3围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙的长度为x(单位m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．第23页(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地的围墙的总费用最少，并求出最少总费用．第24页【解析】(1)设矩形的另一边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.由已知ax＝360，得a＝360x.∴y＝225x＋3602x－360(x0)．(2)∵x0，∴225x＋3602x≥2225×3602＝10800.∴y＝225x＋3602x－360≥10440，当且仅当225x＝3602x时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元．第25页探究3(1)根据已知条件，建立面积与高度、宽度之间的关系是解决本题的关键，在利用基本不等式求最小值时要注意等号是否成立；(2)注意正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数以及y＝ax＋bx等在建立不等式或函数模型中的应用．第26页思考题3某公司生产的某批产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P＝x＋24(其中0≤x≤a，a为正常数)．已知生产该批产品还要投入成本6(P＋1P)万元(不包含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋20P)元/件．(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？第27页【解析】(1)由题意知，y＝(4＋20P)P－x－6(P＋1P)．将P＝x＋24代入化简得y＝19－24x＋2－32x(0≤x≤a，a为正常数)．第28页(2)y＝22－32(16x＋2＋x＋2)≤22－316x＋2×（x＋2）＝10.当且仅当16x＋2＝x＋2，即x＝2时，上式取等号．当a≥2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润量大；y′＝24（x＋2）2－32，第29页当x2时，y′0，此时函数y在[0，2]上单调递增，所以当a2时，函数y在[0，a]上单调递增，所以x＝a时，函数y有最大值．即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大．综上，当a≥2时，促销费用投入2万元，该公司的利润最大，当a2时促销费用投入a万元，该公司的利润最大．第30页课后巩固第31页1．已知U＝{y|y＝log2x，x1}，P＝{y|y＝1x，x2}，则∁UP等于()A．[12，＋∞)B．(0，12)C．(0，＋∞)D．(－∞，0]∪[12，＋∞)第32页答案A解析因为U＝{y|y＝log2x，x1}＝{y|y0}，P＝{y|y＝1x，x2}＝{y|0y12}．所以∁UP＝{y|y≥12}，故选A.第33页2．a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3第34页答案C解析因为a≥0，b≥0，且a＋b＝2，所以4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，所以a2＋b2≥2，故选C.第35页3．已知x，y∈R，且2x＋3y2－y＋3－x，则下列各式中正确的是()A．x－y0B．x＋y0C．x－y0D．x＋y0第36页答案D解析证f(x)＝2x－3－x，则f(x)单调递增，因为2x＋3y2－y＋3－x⇔2x－3－x2－y－3y⇔f(x)f(－y)⇔x－y⇔x＋y0.选D.第37页4．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40千米/时以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12米，乙车刹车距离略超过10米，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(米)与车速x(千米/时)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2；s乙＝0.05x＋0.005x2.则超速行驶应负主要责任的是________．第38页答案乙解析由s甲＝0.1x＋0.01x212得x30或x－40(舍去)，由s乙＝0.05x＋0.005x210，得x40或x－50(舍去)，故负主要责任的应为乙．第39页5．某学校为提高办学质量，决定为各班教室配置一台液晶电视机，经过学校研究，决定分别从两种质量相当的电视机品牌中选择功能相同的电视机型号，据了解，甲型号电视机为家电下乡政策补贴品牌，每台享受13%政府补贴优惠政策(即按原价的87%出售)，乙型号电视机的优惠条件是：不超过20台(含20台)时，每台按原价出售，超过20台时，超过的台数，每台按原价的77%出售．如果这两种型号的电视机原价相同，你觉得应该选择哪种型号的电视机更合算？第40页解析设学校要购买x台电视机，甲、乙两种型号的电视机售价总额分别为y甲，y乙，一台电视机的售价为a元，则y甲＝0.87ax，y乙＝ax，x≤20，20a＋（x－20）×0.77a，x20，当x≤20时，显然选甲型号电视机更合算；第41页当x20时，y甲－y乙＝0.87ax－[20a＋(x－20)×0.77a]＝0.87ax－20a－0.77ax＋15.4a＝0.1ax－4.6a.故当x46时，选甲型号电视机更合算；当x＝46时，两型号电视机售价相同；当x46时，选乙型号电视机更合算．第42页