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第1页4．3放缩法、几何法、反证法第2页知识探究第3页1.放缩法(1)方法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们这种方法称为放综法．(2)关键：放大(缩小)要适当．2．几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法．第4页3．反证法方法：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．第5页1.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设常见词语至少有一个至多有一个唯一一个不是不可能全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个或两个以上是有或存在不全不都是第6页2.放缩法证明不等式的理论依据(1)不等式的传递性.(2)等量加不等量为不等量.(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.第7页3.放缩法证明不等式常用的技巧(1)增项或减项.(2)在分式中增大或减小分子或分母.(3)应用重要不等式放缩，如a2＋b2≥2ab，ab≤a＋b2，ab≤(a＋b2)2，a＋b＋c3≥3abc(a，b，c0).(4)利用函数的单调性等.第8页课时学案第9页题型一用反证法证明否定性结论例1(2016·沈阳高三检测)已知0x2，0y2，0z2，求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1.【思路】由题目可获取以下主要信息：①x，y，z范围已知；②要证明的为否定性结论．解答本题可用反证法加以证明．第10页【证明】方法一：假设x(2－y)1且y(2－z)1，且z(2－x)1均成立，则三式相乘，得xyz(2－x)(2－y)(2－z)1.①由于0x2，∴0x(2－x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1.同理：0y(2－y)≤1，且0z(2－z)≤1.∴三式相乘，得0xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1.②②与①矛盾，故假设不成立．∴x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1.第11页方法二：假设x(2－y)1且y(2－z)1且z(2－x)1.∴x（2－y）＋y（2－z）＋z（2－x）3.③而x（2－y）＋y（2－z）＋z（2－x）≤x＋（2－y）2＋y＋（2－z）2＋z＋（2－x）2＝3.④④与③矛盾，故假设不成立．∴原题设结论成立．第12页探究1(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适合应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．第13页思考题1(2015·湖南)设a0，b0，且a＋b＝1a＋1b.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．第14页【证明】由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a0，b0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，则由a2＋a2及a0得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．第15页题型二用反证法证明“至多”“至少”问题例2实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．【思路】假设结论不成立→a，b，c，d均非负→ac＋bd≤1→与已知矛盾→得结论．第16页【证明】假设a，b，c，d都是非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.∴1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd.这与已知中ac＋bd1矛盾．∴原假设错误．∴a，b，c，d中至少有一个是负数．第17页探究2(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、唯一性命题时，可使用反证法证明．在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾．(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．第18页思考题2已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，求证：y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．【证明】假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，不妨设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1x2，则f(x1)＝f(x2)＝0.∵函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2∈(a，b)且x1x2，∴f(x1)f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾．∴原假设不成立．∴函数y＝f(x)在(a，b)上至多有一个零点．第19页题型三几何法证明不等式例3已知0a1，0b1，求证：a2＋b2＋（a－1）2＋b2＋a2＋（b－1）2＋（a－1）2＋（b－1）2≥22.【思路】通过式子的结构联想到勾股定理，构造几何图形，由几何体直观捕获证明途径．第20页【证明】如图所示，构造单位正方形，O是正方形内一点，O到AD，AB的距离分别为a，b，则|AO|＋|BO|＋|CO|＋|DO|≥|AC|＋|BD|.第21页其中|AO|＝a2＋b2，|BO|＝（a－1）2＋b2，|CO|＝（1－a）2＋（1－b）2，|DO|＝a2＋（b－1）2，又|AC|＝|BD|＝2，所以a2＋b2＋（a－1）2＋b2＋a2＋（b－1）2＋（a－1）2＋（b－1）2≥22.第22页探究3几何法证明不等式比代数法更加形象，更加直观，主要运用我们所熟悉图形的性质，比如两点间线段最短、点到直线的距离最短等．第23页思考题3证明：若x，y，z0，则x2＋y2＋xy＋y2＋z2＋yzz2＋x2＋zx.【证明】如图所示，在△ABC内作∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，第24页设|OA|＝x，|OB|＝y，|OC|＝z，则由余弦定理得|AB|＝x2＋y2＋xy，|BC|＝y2＋z2＋yz，|CA|＝z2＋x2＋zx，因为|AB|＋|BC||CA|，所以x2＋y2＋xy＋y2＋z2＋yzz2＋x2＋xz.第25页题型四用放缩法证明不等式例4n∈N*，求证：1＋122＋132＋…＋1n22.【证明】∵1n21n（n－1）＝1n－1－1n(n≥2)，∴1＋122＋132＋…＋1n21＋1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝2－1n2.第26页探究4(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证ab，可换成证ac且cb，欲证ab，可换成证ac且cb.(2)放缩法的主要理论依据：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．(3)放缩法原理简单，但技巧性较强且有时还会有“危险”，因为放大或缩小过了头，就会得出错误的结论．而达不到预期的目的，因此，在使用放缩法时要注意放缩的“度”．第27页思考题4已知实数x，y，z不全为零．求证：x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x232(x＋y＋z)．第28页【思路】由题目可获取以下主要信息：①x，y，z不全为0；②欲证的不等式较为复杂．解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明．第29页【证明】x2＋xy＋y2＝（x＋y2）2＋34y2≥（x＋y2）2＝|x＋y2|≥x＋y2.同理，可得y2＋yz＋z2≥y＋z2，z2＋zx＋x2≥z＋x2.第30页由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加，得x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2(x＋y2)＋(y＋z2)＋(z＋x2)＝32(x＋y＋z)．第31页课后巩固第32页1．命题“函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有且只有一个零点”的结论的否定是()A．无零点B．有两个零点C．至少有两个零点D．无零点或至少有两个零点第33页答案D解析“有且只有一个”的否定是“一个也没有或至少有两个”．第34页2．已知复数z满足|z|＝2，则|z－i|的最大值为()A．2B．3C．4D．6第35页答案B解析|z|＝2表示以原点为圆心，以2为半径为圆，|z－i|表示圆上的点到点(0，1)的距离，由图易得最大值为3.第36页3．lg9·lg11与1的大小关系是()A．lg9·lg111B．lg9·lg11＝1C．lg9·lg111D．不能确定答案C解析因为lg90，lg110，且lg9≠lg11，所以lg9·lg11(lg9＋lg112)2＝(lg992)2(lg1002)2＝1，所以选C.第37页4．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”的全过程如下：已知：△ABC的三个内角A、B、C，求证：A、B、C中至少有一个内角大于或等于60°.证明：假设_____________________________________，则A＋B＋C60°＋60°＋60°＝180°，这与________矛盾，因此假设不成立，原命题正确．第38页答案A、B、C都小于60°，即A60°，B60°，C60°三角形的内角和是180°第39页5．证明：若三个互不相等的正数a，b，c成等差数列，则a，b，c不可能成等比数列．证明假设a，b，c成等比，则b2＝ac.又∵a＝b－d，c＝b＋d(d≠0，d为公差)，∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2，∴d2＝0.∴d＝0与a，b，c不等矛盾．∴假设不成立．∴a，b，c不可能成等比数列．第40页