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第1页§4不等式的证明4．1比较法第2页知识探究第3页比较法的定义比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种．(1)作差比较法：要证明ab，只要证明a－b0；要证明ab，只要证明a－b0，这种证明不等式的方法，叫做作差比较法．(2)作商比较法：若a0，b0，要证明ab，只要证明ab1；要证明ba，只要证明ba1．这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．第4页1.作差法的依据若a，b∈R，则a－b0⇔ab；a－b＝0⇔a＝b；a－b0⇔ab.2．作差法的步骤作差→变形→判断符号(与0比较大小)→结论．第5页3．作商法的依据若a0，b0，则ab1⇔ab；ab＝1⇔a＝b；ab1⇔ab.4．作商比较法适用证明的不等式的特点适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些不同底数对数值的大小比较.第6页课时学案第7页题型一作差比较法例1已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.【证明】因为a2＋b2－ab－a－b＋1＝12[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.第8页探究1作差比较法证明不等式的技巧(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法是要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项时，常用判别式法判断符号．第9页思考题1(1)(2015·浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋czB．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cxD．ay＋bx＋cz第10页【解析】采用特值法进行求解验证即可，若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是az＋by＋cx.【答案】B第11页(2)已知abc，证明：a2b＋b2c＋c2aab2＋bc2＋ca2.【证明】因为a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)＝(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．因为abc，所以a－c0，a－b0，b－c0，所以(a－c)(a－b)(b－c)0，即a2b＋b2c＋c2aab2＋bc2＋ca2.第12页题型二作商比较法例2设a0，b0，求证：aabb≥(ab)a＋b2.第13页【证明】因为aabb0，(ab)a＋b20，所以aabb（ab）a＋b2＝aa－b2bb－a2＝(ab)a－b2，所以当a＝b时，显然有(ab)a－b2＝1；当ab0时，ab1，a－b20；当ba0时，0ab1，a－b20，由指数函数的单调性，有(ab)a－b2(ab)0＝1，综上可知，对任意a0，b0，都有aabb≥(ab)a＋b2.第14页探究2作商比较法证明不等式的一般步骤(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商．(2)变形：化简商式到最简形式．(3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断商大于1或小于1或等于1.(4)得出结论．第15页思考题2abc0，求证：a2ab2bc2cab＋cbc＋aca＋b.【解析】由abc0，得ab＋cbc＋aca＋b0，a2ab2bc2c0.所证不等式左边除以右边，得a2ab2bc2cab＋cbc＋aca＋b＝aaaabbbbccccabacbcbacacb＝aa－baa－cbb－cbb－acc－acc－b＝(ab)a－b(ac)a－c(bc)b－c.因为ab0，所以ab1，a－b0，所以(ab)a－b1.同理(bc)b－c1，(ac)a－c1.所以a2ab2bc2cab＋cbc＋aca＋b1，所以a2ab2bc2cab＋cbc＋aca＋b.第16页题型三一题多解例3若0＜x＜1，求证：|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.【证明】方法一：(1)当a＞1时，∵0＜x＜1，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)．∵0＜x2＜1，∴0＜1－x2＜1，∴loga(1－x2)＜0.∴－loga(1－x2)＞0.∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.第17页(2)当0＜a＜1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)．∵0＜1－x2＜1，∴loga(1－x2)＞0.∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.故原不等式成立．综上(1)，(2)知，原不等式成立．第18页方法二：此题也可用作商法．即|loga（1－x）||loga（1＋x）|＝|log(1＋x)(1－x)|，∵0＜1－x＜1，1＋x＞1，∴log(1＋x)(1－x)＜0.∵1＞1－x2，即11－x＞1＋x.∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)11－x＞log(1＋x)(1＋x)＝1.∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.第19页探究3方法一利用作差法，在去绝对值符号时，需对a的范围进行讨论，但思路自然．方法二利用作商法通过换底之后消去a，不需对a进行讨论，有一定的解题技巧，所以在解题时要灵活运用这两种方法．第20页思考题3已知a2，求证：loga(a－1)log(a＋1)a.【证明】∵a2，∴a－11，∴loga(a－1)0，log(a＋1)a0.∴loga（a－1）log（a＋1）a＝loga(a－1)loga(a＋1)[loga（a－1）＋loga（a＋1）2]2＝[loga（a2－1）2]2.∵a2，∴0loga(a2－1)logaa2＝2.∴[loga（a2－1）2]2[logaa22]2＝1.∴loga(a－1)log(a＋1)a.第21页课后巩固第22页1．已知a，b∈R，M＝a2＋b2，N＝2(a－b－1)，则M与N的大小关系是()A．M≥NB．MNC．M≤ND．MN第23页答案A解析因为M－N＝a2＋b2－2(a－b－1)＝a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以M－N≥0，即M≥N.第24页2．下列命题：①当b0时，ab⇔ab1；②当b0时，ab⇔ab1；③当a0，b0时，ab1⇔ab；④当ab0时，ab1⇔ab.A．仅①②③B．仅①②④C．仅④D．①②③④第25页答案A解析由不等式的性质可知①②③正确，命题④没有对b的正负进行讨论，故④不正确，故选A.第26页3．若cab0，比较大小：ac－a________bc－b(填“”“＝”或“”)．答案解析∵cab0，∴c－bc－a0，∴1c－a1c－b0.又∵ab0，∴ac－abc－b.第27页4．设x∈R，下列各数中恒大于x的是________．①x2＋1；②10x；③|x|；④x2.答案①解析特殊值法，取x＝0，则有10x＝x2＝|x|＝0，排除②③④.也可以这样解：因为x2＋1－x＝x2－x＋1＝(x－12)2＋34≥340，所以x2＋1x.故选①.第28页5．已知ab0，求证：a2－b2a2＋b2a－ba＋b.第29页证明证法一：(作差比较法)因为ab0，所以ab0，a－b0，a＋b0，所以a2－b2a2＋b2－a－ba＋b＝（a－b）[（a＋b）2－（a2＋b2）]（a2＋b2）（a＋b）＝（a－b）·2ab（a2＋b2）（a＋b）0.所以a2－b2a2＋b2a－ba＋b.第30页证法二：(作商比较法)因为ab0，所以a2－b2a2＋b2，a－ba＋b均大于0.又因为a2－b2a2＋b2a－ba＋b＝a2－b2a2＋b2·a＋ba－b＝（a＋b）2a2＋b2＝1＋2aba2＋b21，所以a2－b2a2＋b2a－ba＋b.第31页