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第1页3．2三元平均值不等式第2页知识探究第3页1.三个正数的算术－几何平均不等式(定理3)如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅a＝b＝c时，等号成立．2．基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．第4页1.定理3的变形及结论(1)abc≤(a＋b＋c3)3.(2)a3＋b3＋c3≥3abc.(3)31a＋1b＋1c≤3abc≤a＋b＋c3≤a2＋b2＋c23.上述中a，b，c均为正数，等号成立的条件均为a＝b＝c.第5页2．利用定理3可确定代数式或函数的最值(1)若a，b，c∈R＋，且积abc为定值s时，由a＋b＋c≥33abc(定值)，当且仅当a＝b＝c时，和a＋b＋c有最小值33s.(2)若a，b，c∈R＋，且和a＋b＋c为定值p时，由abc≤(a＋b＋c3)3(定值)，录且仅当a＝b＝c时，积abc有最大值127p3.第6页课时学案第7页题型一用平均不等式求最值例1已知x，y∈R＋且x2y＝4，试求x＋y的最小值及达到最小值时x，y的值．第8页【思路】根据约束条件x2y＝4进行配凑，将两项和x＋y改变成三项和：12x＋12x＋y(考虑到等号成立的条件，必须将x平均分成两项，y不变)，再对它使用平均不等式，即可获得所求．第9页【解析】∵x，y∈R＋且x2y＝4，∴x＋y＝12x＋12x＋y≥3314x2y＝3314×4＝3.当且仅当x2＝x2＝y时等号成立．又∵x2y＝4，∴当x＝2，y＝1时，x＋y取最小值3.第10页探究1(1)将x＋y变形时，不能将它变形成：x＋y＝13x＋23x＋y，这样变形虽然同样可利用x2y＝4，但等号不能取到，所以得不到最小值．(2)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．第11页(3)应用平均不等式定理，要注意三个条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．(4)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．第12页思考题1实数x，y满足xy0，且x2y＝4，则xy＋x2的最小值为________．第13页【解析】∵xy0，x2y＝4，∴x0，y0，xy＋x2＝12xy＋12xy＋x2≥3314x4y2＝3314（x2y）2＝3314×42＝334.当且仅当12xy＝x2，即x＝32，y＝232时等号成立．【答案】334第14页题型二用平均不等式证明不等式例2设a，b，c∈R＋，求证：(1)(1a2＋1b2＋1c2)(a＋b＋c)2≥27；(2)(a＋b＋c)(1a＋b＋1b＋c＋1a＋c)≥92.第15页【思路】先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明．第16页【证明】(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥33abc0.从而(a＋b＋c)2≥93a2b2c20.又1a2＋1b2＋1c2≥331a2b2c20，∴(1a2＋1b2＋1c2)(a＋b＋c)2≥331a2b2c2·93a2b2c2＝27.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．第17页(2)∵a，b，c∈R＋，∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥33（a＋b）（b＋c）（c＋a）0，1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥331a＋b·1b＋c·1a＋c0.∴(a＋b＋c)(1a＋b＋1b＋c＋1a＋c)≥92.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．第18页探究2三个正数的算术—几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致．第19页思考题2已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥92.第20页【证明】∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·(1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)≥33（a＋b）（b＋c）（c＋a）·331a＋b·1b＋c·1c＋a＝9.即2(a＋b＋c)·(1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)≥9.又∵a＋b＋c＝1，∴1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥92.当且仅当a＝b＝c时等号成立．第21页题型三用平均不等式解应用题例3已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．第22页【思路】作出圆锥、圆柱的轴截面→利用相似三角形建立各元素之间的关系→列出目标函数——圆柱的体积的表达式→用平均不等式求最大值．第23页【解析】设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质，可得H－hH＝rR.∴r＝RH(H－h)．∴V圆柱＝πr2h＝πR2H2(H－h)2h(0hH)．根据平均不等式可得V圆柱＝4πR2H2·H－h2·H－h2·h≤4πR2H2(H3)3＝427πR2H.当且仅当H－h2＝h，即h＝13H时，V圆柱最大＝427πR2H.第24页探究3(1)求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用平均不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立．第25页(2)求形如y＝ax2＋bx(x0，a0，b0)的函数的最小值，关键是拆bx为bx＝b2x＋b2x，则y＝ax2＋bx＝ax2＋b2x＋b2x≥33ax2·b2x·b2x＝3232ab2.求形如y＝ax＋cbx2(x0，a0，bc0)的函数的最小值，关键是拆ax为ax2＋ax2，则y＝ax＋cbx2＝ax2＋ax2＋cbx2≥33ax2·ax2·cbx2＝3232a2cb.第26页思考题3如图所示，已知圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x，下底面半径与上底面半径之比为λ(0λ1)的内接圆台．试问：当x为何值时，圆台的体积最大？并求出这个最大的体积．第27页【解析】设内接圆台的上底面半径为r，则下底面半径为λr，由相似三角形的性质，得r＝R(1－xH)．从而圆台的体积为V＝13πx(r2＋r·λr＋λ2r2)＝13πR2x(1－xH)2·(1＋λ＋λ2)＝16πR2H·(1＋λ＋λ2)·2xH(1－xH)(1－xH)．由0xH1，得1－xH0.第28页又2xH＋(1－xH)＋(1－xH)＝2为定值，∴当2xH＝1－xH即x＝H3时，v最大．故当x＝H3时，Vmax＝481πR2H(1＋λ＋λ2)．第29页思考题4今欲造一个无盖的容积为32πm3的圆柱形水池，池底所用材料每平方米300元，池壁所用材料每平方米200元，那么设计这个水池的最低成本是多少元？第30页【解析】设水池的底面半径为xm，高为ym.则πx2y＝32π.∴x2y＝32.依题意，设计这个水池的成本为w＝300πx2＋200·2πxy＝100π(3x2＋4xy)＝100π(3x2＋2xy＋2xy)第31页≥100π·333x2·2xy·2xy＝300π·312x4y2＝300π·312·（32）2.∴w≥900π.当且仅当3x2＝2xy即3x＝2y时取等号，可得x＝1，y＝1.5.答：当水池半径为1m，池高为1.5m时，修建水池成本最低为900π元．第32页课后巩固第33页1．设a，b，c∈R，且a，b，c不全相等，则不等式a3＋b3＋c3≥3abc成立的一个充要条件是()A．a，b，c全为正数B．a，b，c全为非实数C．a＋b＋c≥0D．a＋b＋c0第34页答案C解析a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b)3－3a2b－3ab2＋c3－3abc＝(a＋b)3＋c3－3a2b－3ab2－3abc＝(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)[a2＋2ab＋b2－ac－bc＋c2－3ab]＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＝12(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]，第35页∵a，b，c为不全相等的实数，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)20.∴a3＋b3＋c3≥3abc⇔a3＋b3＋c3－3abc≥0⇔a＋b＋c≥0.第36页2．已知a，b，c为正数，则ab＋bc＋ca有()A．最小值3B．最大值3C．最小值2D．最大值2答案A解析∵a0，b0，c0，∴ab＋bc＋ca≥33ab·bc·ca＝3.第37页V3．已知a，b，c∈R＋，x＝a＋b＋c3，y＝3abc，z＝a2＋b2＋c23，则()A．x≤y≤zB．y≤x≤zC．y≤z≤xD．z≤y≤x第38页答案B解析∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c3≥3abc.∴x≥y.又x2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac9，z2＝3a2＋3b2＋3c29，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2.∴z2≥x2，∴z≥x，即y≤x≤z.第39页4．若a2，b3，则a＋b＋1（a－2）（b－3）的最小值为________．第40页答案8解析∵a2，b3，∴a－20，b－30.∴a＋b＋1（a－2）（b－3）＝(a－2)＋(b－3)＋1（a－2）（b－3）＋5≥33（a－2）（b－3）·1（a－2）（b－3）＋5＝3＋5＝8.当且仅当a＝3，b＝4时取等号．第41页5．已知a1，a2，…，an都是正数，且a1a2…an＝1，求证：(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.第42页解析∵a10，∴2＋a1＝1＋1＋a1≥33a1.同理：2＋aj≥33aj(j＝2，3，…，n)．将上式相乘，得(2＋a1)(2＋a2)(2＋a3)…(2＋an)≥(33a1)(33a2)…(33an)＝3n·3a1a2…an.∵a1a2…an＝1，∴(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.当且仅当a1＝a2＝…＝an＝1时等号成立．第43页6．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥63.并确定a，b，c为何值时，等号成立．第44页证明因为a，b，c均为正数，由平均值不等式知a2＋b2＋c2≥3(abc)23.①1a＋1b＋1c≥3(abc)－13，即(1a＋1b＋1c)2≥9(abc)－23.②故a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥3(abc)23＋9(abc)－23.又3(abc)23＋9(abc)－23≥227＝63，③第45页所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时①式②式等号成立．当且仅当3(abc)23＝9(abc)－23时③式成立，即当且仅当a＝b＝c＝314时，原不等式等号成立．第46页