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第1页2．2绝对值不等式的解法第2页知识探究第3页1.含绝对值不等式|x|a与|x|a的解法第4页2．|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的三种解法(1)利用绝对值不等式的几何意义．(2)利用x－a＝0，x－b＝0的解，将数轴分成三个区间，然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之．(3)通过构造函数，利用函数图像．第5页1.|x－a|±|x－b|的几何意义数轴上的点x到点a，b的距离之和(差)．2．解含绝对值不等式的关键解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式．3．关于|f(x)||g(x)|的解法可利用|x|a(a0)⇔x2a2的思想去掉绝对值符号(首先使f(x)，g(x)都有意义).第6页课时学案第7页题型一简单的绝对值不等式的解法例1解下列不等式．(1)1|x－2|≤3；(2)|2x＋5|7＋x.第8页【思路】解答本题(1)可利用公式转化为|ax＋b|c(c0)或|ax＋b|c(c0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式．第9页【解析】(1)方法一：原不等式等价于不等式组|x－2|1，|x－2|≤3，即x1或x3，－1≤x≤5，解得－1≤x1或3x≤5.所以原不等式的解集为{x|－1≤x1或3x≤5}．第10页方法二：原不等式可转化为①x－2≥0，1x－2≤3或②x－20，1－（x－2）≤3.由①得3x≤5，由②得－1≤x1.所以原不等式的解集为{x|－1≤x1或3x≤5}．第11页方法三：原不等式的解集就是1(x－2)2≤9的解集，即（x－2）2≤9，（x－2）21，解得－1≤x≤5，x1或x3.∴－1≤x1或3x≤5.∴原不等式的解集为{x|－1≤x1或3x≤5}．第12页(2)由不等式|2x＋5|7＋x，可得2x＋57＋x或2x＋5－(7＋x)，整理得x2或x－4.∴原不等式的解集为{x|x－4或x2}．第13页探究1(1)形如c|ax＋b|d(dc0)的不等式．c|ax＋b|d⇔cax＋bd，或－dax＋b－c.(2)形如|ax＋b|cx＋d或|ax＋b|cx＋d的不等式．这类不等式的解法有两种：第一种，公式法，分cx＋d≥0或cx＋d＜0，转化为|ax＋b|＞c型，或|ax＋b|＜c型．第二种，分类讨论，分ax＋b≥0或ax＋b＜0.从而脱去绝对值号．第14页但在实际操作中，往往用下面的方法：|f(x)|g(x)⇔f(x)g(x)或f(x)－g(x)；|f(x)|g(x)⇔－g(x)f(x)g(x)．第15页思考题1解下列不等式．(1)|6－2x|4；(2)2≤|x－4|3；(3)|x＋1|2－x.第16页【解析】(1)|6－2x|4⇔|2x－6|4⇔2x－64或2x－6－4，整理得2x10或2x2，解得x5或x1.所以原不等式的解集是{x|x5或x1}．第17页(2)方法一：原不等式等价于|x－4|3|x－4|≥2⇔①x－43x－4－3x－4≥2或②x－43x－4－3，x－4≤－2解不等式组①得6≤x7，解不等式组②得1x≤2.所以原不等式的解集为{x|1x≤2或6≤x7}．第18页方法二：原不等式等价于2≤x－43或－3x－4≤－2，即6≤x7或1x≤2，所以原不等式的解集为{x|1x≤2或6≤x7}．(3)因为由原不等式可得x＋12－x或x＋1x－2，解得x12.所以所求不等式的解集为{x|x12}．第19页题型二含多个绝对值的不等式的解法例2(1)解不等式|x＋3|＋|x－3|8.(2)解不等式|2x＋1|－|x－4|2.第20页【思路】对于含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，可以进行分类讨论；也可以借助数轴利用绝对值的几何意义；还可以画出左、右两边相应函数的图像，利用图像法直观求解．第21页【解析】(1)方法一：由代数式|x＋3|，|x－3|知，－3和3把实数集分为三部分：x－3，－3≤x3，x≥3.当x－3时，－x－3－x＋38，即x－4，此时不等式的解集为{x|x－4}．①当－3≤x3时，x＋3－x＋38，此时不等式无解．②当x≥3时，x＋3＋x－38，即x4，此时不等式的解集为{x|x4}．③①②③式求并集得原不等式的解集为{x|x－4或x4}．第22页方法二：不等式|x＋3|＋|x－3|8表示数轴上与A(－3)，B(3)两点距离之和大于8的点，而A，B两点间距离为6.因此线段AB上每一点到A，B的距离之和都等于6.如图所示，要找到与A，B距离之和为8的点，第23页只需由点B向右移1个单位(这时距离之和增加2个单位)，即移到点B1(4)，或由点A向左移1个单位，即移到点A1(－4)．可以看出，数轴上点B1(4)向右的点或者点A1(－4)向左的点到A，B两点的距离之和均大于8.∴原不等式的解集为{x|x－4或x4}．第24页方法三：分别画出函数y1＝|x＋3|＋|x－3|和y2＝8的图像，如下图所示．y1＝－2x（x－3），6（－3≤x3），2x（x≥3），不难看出，要使y1y2，只需x－4或x4.∴原不等式的解集为{x|x－4或x4}．第25页(2)方法一：当x≥4时，(2x＋1)－(x－4)2，解得x－3，∴x≥4.当－12≤x4时，(2x＋1)＋(x－4)2，解得x53，∴53x4.当x－12时，－(2x＋1)＋(x－4)2，解得x－7，∴x－7.综上可知，不等式的解集为{x|x－7或x53}．第26页方法二：令y＝|2x＋1|－|x－4|，则y＝－x－5（x≤－12），3x－3（－12x4），x＋5（x≥4）.作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|与函数y＝2的图像，第27页它们的交点为(－7，2)和(53，2)．所以|2x＋1|－|x－4|2的解集为(－∞，－7)∪(53，＋∞)．第28页探究2(1)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．(2)几何解法的关键是理解绝对值的几何意义．第29页(3)解类似本例绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：①令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；②把这些根从小到大排序，把实数集分成若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；④取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．第30页思考题2已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.(1)作出函数y＝f(x)的图像；(2)解不等式|x－8|－|x－4|2.第31页【解析】(1)f(x)＝4（x≤4），－2x＋12（4x≤8），－4（x8）.图像如图所示．第32页(2)不等式|x－8|－|x－4|2，即f(x)2.由－2x＋12＝2，得x＝5.由函数f(x)图像可知，原不等式的解集为(－∞，5)．第33页题型三含参数的绝对值不等式的解法例3解下列不等式其中a∈R.(1)|2x＋a|＜6；(2)|ax＋2|＜6；(3)|2x＋6|＜a.第34页【思路】由于参数的位置不一样，故需具体情况具体分析．【解析】(1)|2x＋a|＜6⇔－6＜2x＋a＜6⇔－6－a2＜x＜6－a2.∴不等式解集为{x|－6－a2＜x＜6－a2}．第35页(2)|ax＋2|＜6⇔－6＜ax＋2＜6⇔－8＜ax＜4.①若a0，则－8a＜x＜4a；②若a＝0，则x∈R；③若a＜0，则4a＜x＜－8a.综上，当a＞0时，不等式解集为{x|－8a＜x＜4a}；当a＝0时，不等式解集为R；当a＜0时，不等式解集为{x|4a＜x＜－8a}．第36页(3)①若a≤0，∵|2x＋6|≥0，∴x∈∅.②若a＞0，则由－a＜2x＋6＜a，得－a－62＜x＜a－62.故当a≤0时，不等式解集为∅；当a＞0时，不等式解集为{x|－a＋62＜x＜a－62}．第37页探究3(1)解含参数的绝对值不等式，一般情况下要进行讨论．(2)对参数进行讨论，一定要做到不重、不漏，对参数分类的解集一般不合并．第38页思考题3(2014·湖南)若关于x的不等式|ax－2|3的解集为{x|－53x13}，则a＝________．第39页【解析】由|ax－2|3，得－1ax5.若a≥0，显然不符合题意；当a0时，解得5ax－1a，故－1a＝13，5a＝－53，解得a＝－3.【答案】－3第40页题型四含绝对值不等式的恒成立问题例4已知不等式|x＋2|－|x＋3|m，求分别满足下列条件的m的取值范围．(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅.第41页【思路】解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围．第42页【解析】方法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x－2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图像知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.第43页(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m1.(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m－1.(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1.第44页方法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，即m1.(2)若不等式解集为R，即m－1.(3)若不等式解集为∅，即m≥1.第45页探究4问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对值不等式或对立不等式，都属于恒成立问题，问题(2)，(3)则属于恒成立问题．要对任意实数x，结论都成立或都不成立，都不成立也就是结论的对立方面都成立，都可转化为最值问题，即f(x)a恒成立⇔f(x)maxa，f(x)a恒成立⇔f(x)mina.第46页【互动探究】1.把本例中的“”改成“”，即|x＋2|－|x＋3|m时，分别求出m的范围．2．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|m时，分别求出m的范围．第47页【解析】1.由例题知－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1，所以(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值大即可，即m－1；(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值大即可，即m1；(3)若不等式的解集为∅，m只要不大于|x＋2|－|x＋3|的最小值即可，即m≤－1.第48页2．|x＋2|＋|x＋3|≥|(x＋2)－(x＋3)|＝1，即|x＋2|＋|x＋3|≥1.(1)若不等式有解，m为任何实数均可，即m∈R；(2)若不等式解集为R，即m1；(3)若不等式解集为∅，这样的m不存在，即m∈∅.第49页思考题4已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x＋a|.(1)a＝－3时，求不等式f(x)≤6的解集．(2)若关于x的不等式f(x)a恒成立，求实数a的取值范围．第50页【解析】(1)当a＝－3时，f(x)≤6为|2x＋1|＋|2x－3|≤6，