2019-2020学年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1-2-1 绝对值不等式课件 北师大版

第1页§2含有绝对值的不等式2．1绝对值不等式第2页知识探究第3页1.绝对值的几何意义|x＋a|的几何意义是数轴上实数x对应的点与实数－a对应的点之间的距离．2．绝对值不等式定理对任意实数a和b，有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．第4页3．绝对值不等式的常用结论(1)设a，b是任意实数，有||a|－|b||≤|a＋b|，当且仅当ab≤0时，等号成立．(2)对任意实数a，b，c，有|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，当且仅当(a－c)(c－b)≥0时，等号成立．第5页1.对定理的两点说明(1)由于定理与三角形边之间的联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．(2)定理1可推广到n个实数情况即：|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.第6页2．常用结论|a－b|≤|a－c|＋|c－b|的几何解析在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点C在点A，B之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.当点C不在点A，C之间时，(1)点C在A或B上时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.(2)点C不在A，B上时，|a－c||a－b|＋|b－c|.第7页课时学案第8页题型一绝对值三角不等式定理的应用例1(1)“|x－a|m且|y－a|m”是“|x－y|2m”(x，y，a，m∈R)的________条件．(2)以下四个命题：①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；②若|a－b|1，则|a||b|＋1；第9页③若|x|2，|y|3，则|xy|23；④若ab≠0，则lg|a|＋|b|2≥12(lg|a|＋lg|b|)．其中正确命题的序号为________．第10页【思路】(1)利用绝对值三角不等式，推证|x－a|m，|y－a|m与|x－y|2m的关系即可．(2)利用绝对值三角不等式定理，结合不等式的性质、基本不等式定理等一一验证．第11页【解析】(1)∵|x－a|m，|y－a|m，∴|x－a|＋|y－a|2m.又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，∴|x－y|2m，但反过来不一定成立，如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|2×2.5，但|3－(－2)|2.5，|1－(－2)|2.5，∴|x－y|2m不一定有|x－a|m且|y－a|m，故“|x－a|m且|y－a|m”是“|x－y|2m”(x，y，a，m∈R)的充分不必要条件．第12页(2)|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a|＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确；1|a－b|≥|a|－|b|，∴|a||b|＋1，②正确；|y|3，∴1|y|13，∴|x||y|23，即|xy|23，③正确．(|a|＋|b|2)2＝14(|a|2＋|b|2＋2|a||b|)≥14(2|a||b|＋2|a||b|)＝|a||b|，第13页∴2lg|a|＋|b|2≥lg|a||b|.∴lg|a|＋|b|2≥12(lg|a|＋lg|b|)，④正确．【答案】(1)充分不必要(2)①②③④第14页探究1(1)定理|a|－|b||a±b||a|＋|b|的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边．第15页(2)对|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的诠释：定理的构成部分特征大小关系等号成立的条件左端|a|－|b|可能是负的≤中间部分中间部分为|a＋b|时，ab≤0，且|a|≥|b|时，左边的等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左边等号成立第16页中间部分|a±b|肯定是非负的≥左端≤右端用“＋”连接时，ab≥0，右端取等号，ab≤0，且|a|≥|b|时，左端取等号；用“－”连接时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左端取等号，ab≤0，右端取等号右端|a|＋|b|是非负的≥中间部分中间部分为|a＋b|时，ab≥0，等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≤0，等号成立第17页思考题1(1)设|a|1，|b|1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|2B．|a＋b|＋|a－b|2C．|a＋b|＋|a－b|＝2D．不可能比较大小第18页(2)已知|a|≠|b|，m＝|a|－|b||a－b|，n＝|a|＋|b||a＋b|，则m，n之间的大小关系是()A．mnB．mnC．m＝nD．m≤n第19页【解析】(1)当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a|2，当(a＋b)(a－b)0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|2.(2)∵|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，∴m＝|a|－|b||a－b|≤|a－b||a－b|＝1，n＝|a|＋|b||a＋b|≥|a|＋|b||a|＋|b|＝1.∴m≤1≤n.【答案】(1)B(2)D第20页题型二利用绝对值不等式求解有关最值问题例2(1)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．(2)若f(x)＝|x－t|＋|5－x|的最小值为3，则实数t的值是________．第21页【解析】(1)|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤5，当且仅当x－1＝－1，y－2＝1时等号成立，即当x＝0，y＝3时，|x－2y＋1|的最大值为5.(2)由f(x)＝|x－t|＋|5－x|≥|(x－t)＋(5－x)|＝|5－t|＝3，所以t＝2或t＝8.【答案】(1)5(2)2或8第22页探究2(1)含有绝对值不等式求最值的步骤：①对原式“拆项”“重组”，以便利用条件；②利用定理或不等式|a－b|≤|a－c|＋|c－b|进行转化；③化简确定最值．(2)注意定理的推广应用，即|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.第23页思考题2(2015·重庆)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________．第24页【解析】当a≤－1时，f(x)＝－3x＋2a－1（x≤a），x－2a－1（ax≤－1），3x－2a＋1（x－1），所以f(x)min＝－a－1，所以－a－1＝5，所以a＝－6.当a－1时，f(x)＝－3x＋2a－1（x≤－1），－x＋2a＋1（－1x≤a），3x－2a＋1（xa），所以f(x)min＝a＋1，所以a＋1＝5，所以a＝4.综上，a＝－6或a＝4.【答案】－6或4第25页题型三利用绝对值三角不等式证明不等式例3求证：|a2－b2|2|a|≥|a|2－|b|2.第26页【证明】(1)当|a||b|时，左边＝|a＋b||a－b|2|a|＝|a＋b||a－b||a＋b＋a－b|≥|a＋b||a－b||a＋b|＋|a－b|＝11|a＋b|＋1|a－b|，因为1|a＋b|≤1|a|－|b|，1|a－b|≤1|a|－|b|，所以1|a＋b|＋1|a－b|2|a|－|b|，所以左边|a|－|b|2＝右边．(2)当|a||b|时，左边0，右边0，所以原不等式显然成立．(3)若|a|＝|b|，原不等式中等号成立，综上可知原不等式成立．第27页探究3两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明．另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．第28页思考题3(2016·厦门高二检测)设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|m时，求证：|ax＋bx2|2.第29页【证明】因为|x|m≥|b|且|x|m≥1，所以|x2||b|.又因为|x|m≥|a|，所以|ax＋bx2|≤|ax|＋|bx2|＝|a||x|＋|b||x|2|x||x|＋x2|x|2＝2，故原不等式成立．第30页课后巩固第31页1．若a，b∈R，且ab0，则()A．|a＋b||a－b|B．|a＋b||a－b|C．|a－b|||a|－|b||D．|a－b||a|＋|b|第32页答案B解析因为a，b∈R，且ab0，所以|a|＋|b|＝|a－b|，|a＋b||a|＋|b|，所以|a＋b||a－b|，故选B.第33页2．若a，b，c∈R且a，b，c均不为零，当|a－c||b|时，一定有()A．|a||b＋c|B．|a||b|＋|c|C．|a||b－c|D．|a||b|－|c|第34页答案B解析因为|a|－|c|≤|a－c|，|a－c||b|，所以|a|－|c||b|，所以|a||b|＋|c|，故选B.第35页3．不等式|a＋b||a|＋|b|1成立的充要条件是()A．a，b都不为零B．ab0C．ab为非负数D．a，b中至少有一个不为零第36页答案B解析|a＋b||a|＋|b|1⇔|a＋b||a|＋|b|⇔a2＋b2＋2aba2＋b2＋2|ab|⇔ab|ab|⇔ab0.第37页4．已知|a＋b|－c(a，b，c∈R)，给出下列不等式：①a－b－c；②a－b＋c；③ab－c；④|a||b|－c；⑤|a|－|b|－c.其中一定成立的不等式是________．(注：把成立的不等式的序号都填上)第38页答案①②④解析∵|a＋b|－c，∴ca＋b－c.∴a－b－c，a－b＋c，①②成立．∵|a|－|b||a＋b|－c，∴|a||b|－c，④成立．第39页5．已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间[0，1]上，x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，证明：(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)||x1－x2|.第40页证明(1)f(0)＝c，f(1)＝c，故f(0)＝f(1)．(2)|f(x2)－f(x1)|＝|x22－x2＋c－x12＋x1－c|＝|x2－x1||x2＋x1－1|，∵0≤x1≤1，0≤x2≤1，0x1＋x22(x1≠x2)，∴－1x1＋x2－11，∴|x2＋x1－1|1.∴|f(x2)－f(x1)||x1－x2|.第41页