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第1页第一章不等关系与基本不等式第2页§1不等式的性质第3页知识探究第4页1.数轴上点的位置与实数的大小关系若用数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则当ab时，点A在点B的右边；当a＝b时，点A与点B表示同一点；当ab时，点A在点B的左边．第5页2．实数的大小与实数的运算性质之间的关系(1)设a0，b0，则①ab⇔a－b0；②a＝b⇔a－b＝0；③ab⇔a－b0．(2)设a0，b0，则①ab1⇔ab；②ab＝1⇔a＝b；③ab1⇔ab.第6页3．不等式的基本性质(1)对称性：如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即ab⇔ba.(2)传递性：如果ab，bc，那么ac，即ab，bc⇒ac.(3)可加性：①如果ab，那么a＋cb＋c.②如果ab，cd，那么a＋cb＋d.第7页(4)可乘性：①如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc.②如果ab0，cd0，那么acbd.(5)乘方：如果ab0，那么anbn(n为正整数)．(6)开方：如果ab0，那么nanb(n∈N，n≥2)．第8页1.符号“⇒”和“⇔”的含义“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”，这要求必须熟记和区别不同性质的条件．2．性质(3)的作用它是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋bc⇒ac－b.性质(3)是可逆的，即ab⇔a＋cb＋c.第9页3．不等式的单向性和双向性性质(1)和(3)是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．4．注意不等式成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定式．如传递性是有条件的；可乘性的c的正负，乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N，且n≥2”都需要注意.第10页课时学案第11页题型一作差法比较大小例1已知a，b是正实数，比较ab＋ba与a＋b的大小．第12页【思路】作差―→化简―→判号―→定论【解析】方法一：∵ab＋ba－(a＋b)＝（a）3＋（b）3－（a＋b）abab＝（a＋b）（a－2ab＋b）ab＝（a＋b）（a－b）2ab，∵a＋b0，ab0，(a－b)2≥0，∴ab＋ba≥a＋b.第13页方法二：∵ab＋ba－(a＋b)＝(ab－b)＋(ba－a)＝a－bb＋b－aa＝（a－b）（a－b）ab＝（a＋b）（a－b）2ab≥0，∴ab＋ba≥a＋b.第14页探究1作差比较法的四个步骤第15页思考题1当a≠0时，比较(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)与(a2＋a＋1)(a2－a＋1)的大小．第16页【思路】比较两数的大小，将两数作差，若差值为正值，则前者大；反之，则后者大．【解析】(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)－(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝(a2＋1)2－2a2－[(a2＋1)2－a2]＝－2a2＋a2＝－a2.又∵a≠0，∴－a20.∴(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)(a2＋a＋1)(a2－a＋1)．第17页【点评】(1)用作差法比较大小时，要按照“三步一结论”的步骤进行，即“作差—变形—定号—下结论”，其中变形是关键，定号是目的．(2)在变形过程中，一般是变形越彻底越有利于下一步的判断，变形中常用的技巧是：因式分解、配方、通分、分母有理化等．第18页题型二不等式性质的应用例2下列命题中正确的是()(1)若ab，cb，则ac；(2)若ab，则lgab0；(3)若ab，cd，则acbd；(4)若ab0，则1a1b；(5)若acbd，则adbc；第19页(6)若ab，cd，则a－db－c.A．(1)(2)B．(4)(6)C．(3)(6)D．(3)(4)(5)第20页【思路】解答本题可利用不等式性质或利用特殊值法逐一判断．【解析】(1)错误．因为当取a＝4，b＝2，c＝6时，有ab，cb成立，但ac不成立．(2)错误．因为a，b符号不确定，所以无法确定ab1是否成立，从而无法确定lgab0是否成立．(3)错误．此命题当a，b，c，d均为正数时才正确．第21页(4)正确．因为ab，且a，b同号，所以ab0，两边同乘以1ab，得1a1b.(5)错误．利用性质4知只有当cd0时，结论才成立．(6)正确．因为cd，所以－d－c.又ab，所以a－db－c.综上可知(4)(6)正确，故选B.【答案】B第22页探究2(1)利用不等式的性质判断命题真假的技巧①要判断一个命题为真命题，必须严格证明．②要判断一个命题为假命题，或者举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果．其中，举反例在解选择题时用处很大．第23页(2)运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项①倒数法则要求两数同号．②两边同乘以一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定．③同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．第24页思考题2(1)设a1b－1，则下列不等式中恒成立的是()A.1a1bB.1a1bC．ab2D．a22b第25页(2)对于实数a，b，c，下列命题中假命题的序号是________．①若ab，则acbc；②若ac2bc2，则ab；③若ab，1a1b，则a0，b0.第26页【解析】(1)若a1b0时，1a1b，若a10b－1时，1a1b.∴选项A，B均错误．又∵－1b1，∴b21，又a1，∴ab2，∴选项C正确．对于选项D，取a＝32，b＝78知a2＝32，2b＝74，这时a22b，∴选项D错误，故选C.第27页(2)①令c＝0，则有ac＝bc，故该命题是假命题；②由ac2bc2知c≠0，∴c20.∴ab，故该命题为真命题；③ab⇒a－b0，1a1b⇒1a－1b0⇒b－aab0⇒ab0.又ab，∴a0，b0，故该命题为真命题．【答案】(1)C(2)①第28页题型三利用不等式性质证明简单不等式例3已知cab0，求证：ac－abc－b.第29页【证明】方法一：(利用作差法)ac－a－bc－b＝a（c－b）－b（c－a）（c－a）（c－b）＝ac－bc（c－a）（c－b）＝c（a－b）（c－a）（c－b）.因为cab0，所以a－b0，c－a0，c－b0，所以c（a－b）（c－a）（c－b）0，所以ac－a－bc－b0即ac－abc－b.第30页方法二：(利用不等式性质)因为ab，所以－a－b，又cab0，所以0c－ac－b，所以1c－a1c－b0.又因为ab0，所以ac－abc－b.第31页探究3证明“分式”型代数式的大小关系通常有两种思路：(1)作差，按照通分、分解因式、定号的步骤来完成证明．(2)利用不等式的性质完成证明．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面．从应用的角度看，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础，当然也用于证明不等式；在这些性质中，乘(除)法性质的应用最容易出错，所以在利用不等式性质推证不等式时，要紧扣不等式性质成立的条件．第32页思考题3若ab0，cd0，e0.求证：(1)ea－ceb－d；(2)e（a－c）2e（b－d）2.第33页【证明】因为cd0，所以－c－d0，因为ab0，所以a－cb－d0.(*)(1)由(*)式知1a－c1b－d.又因为e0，所以ea－ceb－d.(2)由(*)式知(a－c)2(b－d)20，所以1（b－d）21（a－c）2，又因为e0，所以e（b－d）2e（a－c）2，即e（a－c）2e（b－d）2.第34页题型四利用不等式性质求范围例4已知－1a＋b3且2a－b4，求2a＋3b的取值范围．第35页【思路】选a＋b，a－b为主元，利用待定系数法求解：令2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，确定x、y的值，再利用不等式的性质求2a＋3b的范围，也可利用线性规划知识求解．第36页【解析】方法一：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，所以x＋y＝2，x－y＝3，解得x＝52，y＝－12，所以－5252(a＋b)152，－2－12(a－b)－1.所以－9252(a＋b)－12(a－b)132，即－922a＋3b132.第37页方法二：由－1a＋b3，2a－b4确定的平面区域如图阴影部分所示(不包括边界)．第38页由a－b＝4，a＋b＝－1，得A(32，－52)，由a－b＝2，a＋b＝3，得B(52，12)，所以当a＝32，b＝－52时，2a＋3b＝3－152＝－92，当a＝52，b＝12时，2a＋3b＝5＋32＝132，所以－922a＋3b132.第39页探究4本题易出现扩大2a＋3b范围的错解：由－1a＋b3，2a－b4，解得12a72，－52b12，从而得－1322a＋3b172的情况．导致错误的原因是：该解法中多次运用同向不等式相加这一性质(单向性)，导致取值范围扩大．第40页思考题4已知1≤lg(xy)≤4，－1≤lgxy≤2，则lgx2y的取值范围是________．第41页【解析】由1≤lg(xy)≤4，－1≤lgxy≤2，得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2.而lgx2y＝2lgx－lgy＝12(lgx＋lgy)＋32(lgx－lgy)，所以－1≤lgx2y≤5.【答案】[－1，5]第42页课后巩固第43页1．已知a，b，c，m∈R，下列正确的是()A．ab⇒am2bm2B.acbc⇒abC．a3b3，ab0⇒1a1bD．a2b2，ab0⇒1a1b第44页答案C解析A，B不满足可乘性，D中a，b均为负数时不成立．第45页2．已知ab0，下列不等式一定成立的是()A．a2b2B．a2bab2C．a2baD．a2b2ab答案B解析特值法，令a＝－2，b＝－1.第46页3．若a∈R且a≠1，则a2＋1与2a的大小关系是________．答案a2＋12a解析a2＋1－2a＝(a－1)2，∵a≠1，∴(a－1)20.∴a2＋12a.第47页4．若xy，ab，则在①a－xb－y，②a＋xb＋y，③axby，④x－by－a，⑤aybx这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．第48页答案②④解析①不满足同向不等式相加；②满足同向不等式相加；③不满足可乘性；④满足可加性；⑤不等式中可除性不成立．第49页5．已知ab0，c0，求证：cacb.证明方法一：∵ca－cb＝c（b－a）ab，∵ab0，c0，∴ab0，c(b－a)0.∴ca－cb0.即cacb得证．方法二：∵ab0，∴1a1b，∵c0，∴cacb.第50页