2019-2020学年高中数学 第一章 1.2 应用举例 第2课时 正、余弦定理在三角形中的应用课后

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则该三角形的面积是()A．6B.152C．8D．10解析由5x2－7x－6＝0，得x＝－35或x＝2(舍去)．设它们的夹角为α，则cosα＝－35，sinα＝45.∴S＝12×3×5×45＝6.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若asinBcosC＋csinBcosA＝12b，且ab，则∠B＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析由正弦定理，得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝12sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC＋cosAsinC＝12，即sinB＝12，又ab，∴AB，∴B为锐角，∴B＝π6.3．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对应的边，∠C＝90°，则a＋bc的取值范围是()A．(1,2)B．(1，2)C．(1，2]D．[1，2]解析由正弦定理，知a＋bc＝sinA＋sinBsinC＝sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝2sinA＋π4.∵0Aπ2，∴A＋π4∈π4，3π4，sinA＋π4∈22，1.∴2sinA＋π4∈(1，2]，即a＋bc∈(1，2]．4．在△ABC中，边a，b，c所对应的角分别为A，B，C，a＝4，b＝245，cosB＝45，则角A的值为()A．30°B．45°C．60°D．150°解析由cosB＝45得sinB＝35，又由正弦定理asinA＝bsinB，可得sinA＝12，∵0°A180°，∴A＝30°或150°，又cosB32，∴B30°，∴A＝30°.二、填空题5．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为103，则其周长为________．20解析设AB＝8k，AC＝5k，k0，则S＝12AB×ACsinA＝103k2＝103.∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcosA＝82＋52－2×8×5×12＝49.∴BC＝7，∴周长为AB＋BC＋CA＝20.6.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．3解析∵sin∠BAC＝223，∴sin∠BAD＋π2＝223，∴cos∠BAD＝223，由余弦定理可得BD＝3.7．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆的面积为________．27π5解析不妨设等腰三角形ABC的三边长分别为a，b，c且a＝6，b＝c＝12，由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝122＋122－622×12×12＝78，∴sinA＝1－782＝158.设该三角形内切圆的半径为r，由12(a＋b＋c)·r＝12bcsinA，得r＝3155.∴S内切圆＝πr2＝27π5.三、解答题8．在△ABC中，已知B＝π3，AC＝43，D为BC边上一点．(1)若AD＝2，S△DAC＝23，求DC的长；(2)若AB＝AD，试求△ADC的周长的最大值．解(1)∵S△DAC＝23，∴12AD×ACsin∠DAC＝23，∴sin∠DAC＝12.∵∠DAC∠BACπ－π3＝2π3，∴∠DAC＝π6.在△ADC中，由余弦定理，得DC2＝AD2＋AC2－2AD×ACcosπ6，∴DC2＝4＋48－2×2×43×32＝28，∴DC＝27.(2)∵AB＝AD，B＝π3，∴△ABD为正三角形．在△ADC中，根据正弦定理，可得ADsinC＝43sin2π3＝DCsinπ3－C，∴AD＝8sinC，DC＝8sinπ3－C，∴△ADC的周长为AD＋DC＋AC＝8sinC＋8sinπ3－C＋43＝8sinC＋32cosC－12sinC＋43＝812sinC＋32cosC＋43＝8sinC＋π3＋43，∵∠ADC＝2π3，∴0Cπ3，∴π3C＋π32π3，∴当C＋π3＝π2，即C＝π6时，△ADC的周长取得最大值，且最大值为8＋43.9．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积S.解如图，连接BD，则有四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△CDB＝12AB×ADsinA＋12BC×CDsinC.∵A＋C＝180°，∴sinA＝sinC，∴S＝12(AB×AD＋BC×CD)sinA＝12×(2×4＋6×4)sinA＝16sinA.由余弦定理，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB×ADcosA＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA，在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB×CDcosC＝62＋42－2×6×4cosC＝52－48cosC，∴20－16cosA＝52－48cosC.∵cosC＝－cosA，∴64cosA＝－32，cosA＝－12，∴A＝120°，∴S＝16sin120°＝83.10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．解(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，2cosCsin(A＋B)＝sinC，2sinCcosC＝sinC，cosC＝12，所以C＝π3.(2)由已知，得12absinC＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.B级：能力提升练1．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝1213.(1)求AB→·AC→；(2)若c－b＝1，求a的值．解(1)在△ABC中，∵cosA＝1213，∴sinA＝513.又S△ABC＝12bcsinA＝30，∴bc＝12×13.∴AB→·AC→＝|AB→||AC→|cosA＝bccosA＝144.(2)由(1)知bc＝12×13，又c－b＝1，∴b＝12，c＝13.在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝122＋132－2×12×13×1213＝25，∴a＝5.2．在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C对边的长，且满足cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的值；(2)若b＝19，a＋c＝5，求a，c的值．解(1)由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC＝2R⇒a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入cosBcosC＝－b2a＋c，得cosBcosC＝－sinB2sinA＋sinC，即2sinAcosB＋sinCcosB＋sinBcosC＝0，2sinAcosB＋sin(C＋B)＝0.在△ABC中，有A＋B＋C＝π，即sinA＝sin(B＋C)，∴2sinAcosB＋sinA＝0.∵sinA≠0，∴cosB＝－12⇒B＝2π3.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，19＝52－2ac1－12⇒ac＝6.由ac＝6，a＋c＝5⇒a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.