2019-2020学年高中数学 第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理课后课时精练

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．在△ABC中，若lgsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形解析由已知条件，得sinAcosBsinC＝2，即2cosBsinC＝sinA.由正、余弦定理，得2·a2＋c2－b22ac·c＝a，整理，得c＝b，故△ABC为等腰三角形．2．在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形解析∵sin2A2＝1－cosA2＝c－b2c，∴cosA＝bc＝b2＋c2－a22bc⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形．3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2，则角C为()A.π4B.3π4C.π3D.2π3解析∵a2＋b2＋2ab＝c2，∴a2＋b2－c2＝－2ab，cosC＝a2＋b2－c22ab＝－2ab2ab＝－22，∵C∈(0，π)，∴C＝3π4.4．钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围为()A.32a3B.32≤a3C.32≤a≤3D.32a≤3解析设钝角三角形的最大角为α，则依题意90°α≤120°，于是由余弦定理得cosα＝a2＋a＋12－a＋222aa＋1＝a－32a，所以－12≤a－32a0，解得32≤a3.二、填空题5．在△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.30°解析由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋42－2×2×4×cos60°＝12，∴c＝23.由正弦定理得asinA＝csinC，解得sinA＝12.∵ac，∴A60°，A＝30°.6．三角形三边长分别为a，b,a2＋ab＋b2(a0，b0)，则最大角为________．120°解析易知a2＋ab＋b2a,a2＋ab＋b2b，设最大角为θ，则cosθ＝a2＋b2－a2＋ab＋b222ab＝－12，∴θ＝120°.7．如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝33，BD＝5，sin∠ABC＝235，则CD的长度等于________．4解析由题意知sin∠ABC＝235＝sinπ2＋∠CBD＝cos∠CBD，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC×BD×cos∠CBD＝27＋25－2×33×5×235＝16.∴CD＝4.三、解答题8．在△ABC中，AB＝2，BC＝1，cosC＝34，求BC→·CA→的值．解在△ABC中，由余弦定理，得|AB|2＝|CA|2＋|CB|2－2|CA||CB|cosC，即2＝|CA|2＋1－2|CA|×34.∴|CA|2－32×|CA|－1＝0.∴|CA|＝2.∴BC→·CA→＝|BC→||CA→|cos(180°－C)＝－|BC→||CA→|cosC＝－1×2×34＝－32.9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．解(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又已知a＋c＝6，b＝2，cosB＝79，∴ac＝9.由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，∵cosB＝79，∴sinB＝1－cos2B＝429.由正弦定理，得sinA＝asinBb＝223，∵a＝c，∴A为锐角，∴cosA＝1－sin2A＝13.∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝10227.10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．解(1)因为cos2C＝1－2sin2C＝－14，及0Cπ，所以sinC＝104.(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理asinA＝csinC，得c＝4，由cos2C＝2cos2C－1＝－14及0Cπ，得cosC＝±64，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±6b－12＝0，解得b＝6或26，所以b＝6，c＝4或b＝26，c＝4.B级：能力提升练1．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度确定解析设直角三角形的三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x20，∴c＋x所对的最大角变为锐角．2．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．解由余弦定理，知cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab，代入已知条件，得a·b2＋c2－a22bc＋b·a2＋c2－b22ac＋c·c2－a2－b22ab＝0，通分，得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理，得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理，知△ABC是直角三角形．