2019-2020学年高中数学 第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理课后课时精练

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝()A．4∶1∶1B．2∶1∶1C.2∶1∶1D.3∶1∶1解析∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.由正弦定理的变形公式，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin120°∶sin30°∶sin30°＝32∶12∶12＝3∶1∶1.故选D.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝15，b＝2，A＝60°，则tanB等于()A．1B.12C.52D.32解析由正弦定理，得sinB＝ba·sinA＝215×32＝15，根据题意，得ba，故BA＝60°，因此B为锐角．于是cosB＝1－sin2B＝25，故tanB＝sinBcosB＝12.3．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A．a＝7，b＝14，A＝30°B．a＝30，b＝25，A＝150°C．a＝6，b＝9，A＝45°D．a＝30，b＝40，A＝30°解析在A中，bsinA＝14sin30°＝7＝a，故△ABC只有一解；在B中，a＝30，b＝25，故ab，又A＝150°，故△ABC只有一解；在C中，bsinA＝9sin45°＝9226＝a，故△ABC无解；在D中，bsinA＝40sin30°＝20，因bsinAab，故△ABC有两解．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝3a，B＝30°，那么角C等于()A．120°B．105°C．90°D．75°解析∵c＝3a，∴sinC＝3sinA＝3sin(180°－30°－C)＝3sin(30°＋C)＝332sinC＋12cosC，即sinC＝－3cosC.∴tanC＝－3.又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.二、填空题5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝________.145解析∵cosA＝35，cosB＝513，∴sinA＝45，sinB＝1213.∴sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝5665.又∵sin(π－C)＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinC＝5665，由正弦定理，得bsinB＝csinC，∴c＝3×56651213＝145.6．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.30°解析∵b＝2a，∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA，即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA，化简得sinA＝33cosA，∴tanA＝33，∴A＝30°.7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2a－cc＝tanBtanC，则角B的大小为________．60°解析∵2a－cc＝tanBtanC，根据正弦定理，得2sinA－sinCsinC＝tanBtanC＝sinBcosCsinCcosB.化简为2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．在△ABC中，sin(B＋C)＝sinA，∴cosB＝12.∵0°B180°，∴B＝60°.三、解答题8．(1)在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形；(2)在△ABC中，已知a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形．解(1)∵asinA＝bsinB＝csinC，∴b＝asinBsinA＝22sin45°sin30°＝22×2212＝4.∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c＝asinCsinA＝22sin105°sin30°＝22sin75°12＝2＋23.(2)a＝23，b＝6，ab，A＝30°90°.又因为bsinA＝6sin30°＝3，absinA，所以本题有两解，由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，故B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝a2＋b2＝43；当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝23.所以B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC＝104，当a＝2，且2sinA＝sinC时，求b的长．解∵a＝2，sinC＝104，2sinA＝sinC，∴sinA＝108，∵在△ABC中，sinCsinA，∴CA，∴cosA＝368，cosC＝±64，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝108×±64＋368×104＝315±1516，∴sinB＝154或sinB＝158，由正弦定理asinA＝bsinB，∴b＝26或6.10．已知函数f(x)＝x2＋2xsinθ－1，x∈－32，12.(1)当θ＝π6时，求f(x)的最大值和最小值；(2)若f(x)在x∈－32，12上是单调函数且θ∈[0,2π]，求θ的取值范围．解(1)当θ＝π6时，f(x)＝x2＋x－1，x∈－32，12，f(x)在－32，－12上单调递减；在－12，12上单调递增．故当x＝－12时，f(x)取得最小值，最小值为－54；当x＝12时，f(x)取得最大值，最大值为－14.(2)若f(x)在x∈－32，12上是单调函数且θ∈[0,2π]，则有－sinθ≤－32或－sinθ≥12，解得π3≤θ≤2π3或7π6≤θ≤11π6.故θ的取值范围为π3，2π3∪7π6，11π6.B级：能力提升练1．在△ABC中，A＝60°，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是()A．[33，6]B．(2,43)C．(33，43]D．(3,6]解析由正弦定理，得ACsinB＝ABsinC＝BCsinA＝332.∴AC＝23sinB，AB＝23sinC.∴AC＋AB＝23(sinB＋sinC)＝23[sinB＋sin(120°－B)]＝23sinB＋32cosB＋12sinB＝2332sinB＋32cosB＝632sinB＋12cosB＝6sin(B＋30°)．∵0°B120°，∴30°B＋30°150°.∴12sin(B＋30°)≤1.∴36sin(B＋30°)≤6.∴3AC＋AB≤6.2．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求ab的取值范围．解在锐角三角形ABC中，A，B，C90°，即B90°，2B90°，180°－3B90°，∴30°B45°.由正弦定理，知ab＝sinAsinB＝sin2BsinB＝2cosB∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．