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第四节柱坐标系与球坐标系简介要点1空间直角坐标系在空间任选一点O，作两两垂直的三条直线Ox、Oy、Oz，一般地，使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°，建立空间直角坐标系Oxyz.建立空间直角坐标系后，空间任意一点P在平面xOy上的射影为Q(x，y)，点P在Oz轴上的射影的坐标为z，则有序实数组(x，y，z)即为点P的空间直角坐标．要点2柱坐标系如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点．它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．这样，建立了空间的点与之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做，叫做点P的柱坐标，记作，其中ρ≥0，0≤θ2π，－∞z＋∞.有序数组(ρ，θ，z)柱坐标系有序数组(ρ，θ，z)P(ρ，θ，z)柱坐标系又称半极坐标系，它是由及中的一部分建立起来的．平面极坐标系空间直角坐标系要点3球坐标系建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的为θ.这样点P的位置就可以用有序数组表示．这样，空间的点与之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或)，()叫做点P的球坐标，记做，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ2π.球坐标系在地理学、天文学中有着广泛应用．在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r，φ，θ)的方位角，称为高低角．最小正角(r，φ，θ)有序数组(r，φ，θ)空间极坐标系r，φ，θP(r，φ，θ)90°－φ要点4空间的点的坐标之间的变换公式设空间一点P的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，填表．空间直角坐标(x，y，z)转换公式柱坐标(ρ，θ，z)x＝，y＝，z＝球坐标(r，φ，θ)x＝，y＝，z＝ρcosθρsinθzrsinφcosθrsinφsinθrcosφ课时学案题型一将点的柱坐标化为直角坐标例1将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标：(1)(2，π6，1)；(2)(6，5π3，－2)；(3)(1，π，0)．【思路分析】由题目可获取以下主要信息：①已知点的柱坐标(ρ，θ，z)；②化为点的直角坐标(x，y，z)．解答本题直接利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z计算即可．【解析】设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)∵(ρ，θ，z)＝(2，π6，1)，∴x＝ρcosθ＝2cosπ6＝3，y＝ρsinθ＝2sinπ6＝1，z＝1，∴(3，1，1)为所求．(2)∵(ρ，θ，z)＝(6，5π3，－2)，∴x＝ρcosθ＝6cos5π3＝3，y＝ρsinθ＝6sin5π3＝－33，z＝－2.∴(3，－33，－2)为所求．(3)∵(ρ，θ，z)＝(1，π，0)，∴x＝ρcosθ＝cosπ＝－1，y＝ρsinθ＝sinπ＝0，z＝0.∴(－1，0，0)为所求．探究1根据柱坐标系与点的柱坐标的意义，点(ρ，θ，z)是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面xOy内实际为极坐标系，且ρ≥0，0≤θ2π，在竖直方向上，z为任意实数．化点的柱坐标(ρ，θ，z)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z转化为三角函数的求值与运算即可．思考题1根据下列点的柱坐标，分别求其直角坐标：(1)(2，0，－2)；(2)(π，π，π)；(3)(3，3π2，1)．【解析】设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)∵(ρ，θ，z)＝(2，0，－2)，∴x＝2cosθ＝2，y＝2sinθ＝0，z＝－2，∴(2，0，－2)为所求．(2)∵(ρ，θ，z)＝(π，π，π)，∴x＝π·cosπ＝－π，y＝π·sinπ＝0，z＝π，∴(－π，0，π)为所求．(3)∵(ρ，θ，z)＝(3，32π，1)，∴x＝3·cos32π＝0，y＝3·sin32π＝－3，z＝1，∴(0，－3，1)为所求．题型二将点的球坐标化为直角坐标例2将下列各点的球坐标分别化为直角坐标：(1)(2，3π4，5π4)；(2)(6，π3，2π3)；(3)(3，π，π)．【思路分析】由题目可获取以下主要信息：①已知点的球坐标(r，φ，θ)；②化为点的直角坐标(x，y，z)．解答本题直接利用公式x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ计算即可．【解析】设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)∵(r，φ，θ)＝(2，3π4，5π4)，∴x＝rsinφcosθ＝2sin3π4cos5π4＝－1，y＝rsinφsinθ＝2sin3π4sin5π4＝－1，z＝rcosφ＝2cos3π4＝－2.∴(－1，－1，－2)为所求．(2)∵(r，φ，θ)＝(6，π3，2π3)，∴x＝rsinφcosθ＝6sinπ3cos2π3＝－332，y＝rsinφsinθ＝6sinπ3sin2π3＝92，z＝rcosφ＝6cosπ3＝3.∴(－332，92，3)为所求．(3)∵(r，φ，θ)＝(3，π，π)，∴x＝rsinφcosθ＝3sinπcosπ＝0，y＝rsinφsinθ＝3sinπsinπ＝0，z＝rcosφ＝3cosπ＝－3.∴(0，0，－3)为所求．探究2根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ2π.化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ转化为三角函数的求值与运算．思考题2根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标：(1)(2，π4，7π4)；(2)(π4，π2，3π2)；(3)(3，5π6，5π3)．【解析】(1)x＝rsinφcosθ＝2sinπ4cos74π＝1，y＝rsinφsinθ＝2sinπ4sin74π＝－1，z＝rcosφ＝2cosπ4＝2，∴(1，－1，2)为所求．(2)x＝r·sinφcosθ＝π4sinπ2cos32π＝0，y＝rsinφsinθ＝π4sinπ2sin32π＝－π4，z＝rcosφ＝π4·cosπ2＝0，∴(0，－π4，0)为所求．(3)x＝r·sinφcosθ＝3·sin56πcos53π＝34，y＝rsinφsinθ＝3sin56πsin53π＝－334，z＝rcosφ＝3cos56π＝－332，∴(34，－334，－332)为所求．题型三将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标例3已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．【思路分析】由题目可获取以下主要信息：①已知点的直角坐标(x，y，z)；②化为点的柱坐标(ρ，θ，z)和球坐标(r，φ，θ)．解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可．【解析】点C1的直角坐标为(1，1，1)，设点C1的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中ρ≥0，r≥0，0≤φ≤π，0≤θ2π.由公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，及x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ，得ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0）.及r＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zr，得ρ＝2，tanθ＝1，及r＝3，cosφ＝33.结合图形得θ＝π4，由cosφ＝33，得tanφ＝2.∴点C1的直角坐标为(1，1，1)，柱坐标为(2，π4，1)，球坐标为(3，φ，π4)，其中tanφ＝2，0≤φ≤π.探究3化点M的直角坐标(x，y，z)为柱坐标(ρ，θ，z)或球坐标(r，φ，θ)，需要对公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z以及x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ进行逆向变换，得到ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0），z＝z以及r＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zr，在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值，若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的范围即可．思考题3若本例中条件不变，点C的柱坐标与球坐标如何分别表示？点D呢？【解析】由图知C(1，1，0)，柱坐标(2，π4，0)，球坐标为(2，π2，π4)，同样点D的直角坐标为(0，1，0)，柱坐标为(1，π2，0)，球坐标为(1，π2，π2)．课后巩固1．已知点M的球坐标为(2，π3，π4)，则点M的柱坐标为()A．(62，π4，22)B．(62，π3，22)C．(2，π4，22)D．(6，π4，22)答案A2．(2019·保定一中月考)若点M的柱坐标为(2，2π3，－2)，则点M的直角坐标为________．答案M(－1，3，－2)解析设M的直角坐标为(x，y，z)，∵(ρ，θ，z)＝(2，23π，－2)，∴x＝ρcosθ＝－1，y＝ρsinθ＝3，z＝－2.∴M(－1，3，－2)为所求．3．若点M的球坐标为(4，π4，3π4)，则点M的直角坐标为________．答案M(－2，2，22)解析设点M的直角坐标为(x，y，z)，∵(r，φ，θ)＝(4，π4，34π)，∴x＝rsinφcosθ＝4sinπ4cos34π＝－2，y＝rsinφsinθ＝4sinπ4sin34π＝2，z＝rcosφ＝4cosπ4＝22.∴M(－2，2，22)为所求．