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第三节简单曲线的极坐标方程(第3课时)课时学案题型一直线的极坐标方程的应用例1直线θ＝α(ρ∈R)和直线ρsin(θ－α)＝1的位置关系是()A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．重合【解析】在极坐标系下，分别画出两直线θ＝α和ρsin(θ－α)＝1，然后判断位置关系，也可将极坐标方程化为直角坐标方程，通过斜率判定．【答案】B思考题1极坐标系中，点(2，－π6)到直线ρsin(θ－30°)＝1的距离是________．【解析】(2，－π6)化为直角坐标为x＝2·cos(－π6)＝3，y＝2·sin(－π6)＝－1，ρsin(θ－30°)＝1即ρsinθcos30°－ρcosθsin30°＝1.∴3y－x＝2.∴d＝|－3－3－2|1＋3＝3＋1.【答案】3＋1题型二圆的极坐标方程的应用例2求两个圆ρ＝4cosθ，ρ＝4sinθ的圆心之间的距离．并判定两圆的位置关系．【解析】方法一：ρ＝4cosθ的圆心为(2，0)，半径为2；ρ＝4sinθ的圆心为(2，π2)，半径为2.两圆圆心的距离为d＝22＋22－2·2cosπ2＝22.而两圆半径之和为4，两圆半径之差为0.∴两圆相交．方法二：ρ＝4cosθ两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcosθ.∴ρ＝4cosθ可化为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.∴表示的是以(2，0)为圆心，半径为2的圆．ρ＝4sinθ两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρsinθ.∴ρ＝4sinθ可化为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4.∴表示的是以(0，2)为圆心，半径为2的圆．两圆的圆心距为d＝（2－0）2＋（0－2）2＝22，两圆半径之和为4，之差为0，∴两圆相交．探究1对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，可在极坐标系下研究，也可将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．思考题2在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．【解析】ρ2＝2ρcosθ，圆ρ＝2cosθ的普通方程为x2＋y2＝2x，(x－1)2＋y2＝1，直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0的普通方程为3x＋4y＋a＝0.∵直线与圆相切，∴|3×1＋a|32＋42＝1.∴|a＋3|＝5.∴a＝－8或a＝2.例3在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝1，圆C的圆心是C(1，π4)，半径为1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)求直线l被圆C所截得的弦长．【解析】(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝π4－θ或∠AOD＝θ－π4，OA＝ODcos(π4－θ)或OA＝ODcos(θ－π4)．所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(2)直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0，圆心C的直角坐标为(22，22)，所以C点满足直线l的方程，则直线l经过圆C的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.思考题3在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．【解析】直线ρsin(θ＋π4)＝2转化为普通直角坐标系下的方程为x＋y＝22，化ρ＝4为普通直角坐标系下的方程为x2＋y2＝42，圆心(0，0)到x＋y＝22的距离d＝|22|2＝2，又圆的半径为4，根据垂径定理，可得弦长为2×42－22＝43.【答案】43例4在极坐标系中，已知圆C的圆心C(3，π6)，半径r＝1，点Q在圆C上运动，O为极点．(1)求圆C的极坐标方程；(2)若P在直线OQ上运动，且满足OQ→＝23QP→，求动点P的轨迹方程．【解析】(1)设M(ρ，θ)是圆C上任一点，在△OCM中，根据余弦定理得圆的方程ρ2－6ρcos(θ－π6)＋8＝0.(2)设Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，根据题意，得θ＝θ1，ρ1ρ－ρ1＝23，∴θ1＝θ，ρ1＝25ρ.代入圆ρ2－6ρcos(θ－π6)＋8＝0，得ρ2－15ρcos(θ－π6)＋50＝0.思考题4从极点作圆ρ＝4sinθ的弦，求各条弦中点的轨迹方程．【解析】如下图所示，在圆上任取一点P(ρ1，θ1)，记弦OP的中点为M(ρ，θ)，则θ＝θ1，ρ＝12ρ1，代入圆的方程ρ1＝4sinθ1，得2ρ＝4sinθ，即ρ＝2sinθ.∴轨迹曲线为圆，圆心在点(1，π2)，半径为1.