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第三节简单曲线的极坐标方程(第1课时)要点一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C上，那么方程叫做曲线C的极坐标方程.f(ρ，θ)＝0f(ρ，θ)＝0f(ρ，θ)＝0课时学案题型一几种常见曲线的极坐标方程例1求下列常见曲线的极坐标方程(注：下表中θ的范围可不写)曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为a的圆圆心为(a，0)，半径为a的圆圆心为(a，π2)，半径为a的圆过极点，倾斜角为α的直线过点(a，0)，与极轴垂直的直线过点(a，π2)，与极轴平行的直线【答案】曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为a的圆ρ＝a(0≤θ2π)圆心为(a，0)，半径为a的圆ρ＝2acosθ(－π2≤θ≤π2)圆心为(a，π2)，半径为a的圆ρ＝2asinθ(0≤θπ)过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α过点(a，0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a(－π2θπ2)过点(a，π2)，与极轴平行的直线ρsinθ＝a(0θπ)探究1几种常见曲线的极坐标方程需熟记．思考题1(1)说明下列方程表示何种曲线，并画图．①ρ＝2；②ρ＝4cosθ；③ρ＝4sinθ.【解析】方法一：①圆心在极点，半径为2的圆．②圆心在(2，0)，半径为2的圆．③圆心在(2，π2)，半径为2的圆．(图略)方法二：本题也可化为直角坐标方程再解．①x2＋y2＝4.②ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4.③ρ2＝4ρsinθ，∴x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.(2)说明下列方程表示何种曲线，并画图．①θ＝－π3；②θ＝－π3(ρ∈R)；③ρcosθ＝2；④ρsinθ＝2.【解析】方法一：①过极点，倾斜角为23π的射线．②过极点，倾斜角为23π的直线．③过(2，0)点且与极轴垂直的直线．④过(2，π2)点且与极轴平行的直线．(图略)方法二：化为直角坐标方程(略)．例2(1)求圆心为(2，π)，半径为2的圆的极坐标方程；(2)求圆心为(2，－π2)，半径为2的圆的极坐标方程；(3)求过点(2，π)且垂直于极轴所在直线的直线方程；(4)求过点(2，－π2)且与极轴平行的直线方程．【解析】(1)如图①，设M(ρ，θ)为圆上任意一点，则ρ＝4cos(π－θ)，即ρ＝－4cosθ.化为直角坐标方程为(x＋2)2＋y2＝4.(2)如图②，ρ＝4cos(32π－θ)，即ρ＝－4sinθ.化为直角坐标方程为x2＋(y＋2)2＝4.(3)如图③，ρ·cos(π－θ)＝2，即ρ·cosθ＝－2.化为直角坐标方程为x＝－2.(4)如图④，ρ·cos(θ－32π)＝2，即ρ·sinθ＝－2.化为直角坐标方程为y＝－2.思考题2(1)圆心在(a，π)(a0)，半径为a的圆的极坐标方程为________；(2)圆心在(a，－π2)(a0)，半径为a的圆的极坐标方程为________；(3)过点(a，π)(a0)，且垂直于极轴所在直线的直线方程为________；(4)过点(a，－π2)(a0)，且与极轴平行的直线方程为________．【答案】(1)ρ＝－2acosθ，(2)ρ＝－2asinθ，(3)ρcosθ＝－a，(4)ρsinθ＝－a题型二一般圆的极坐标方程例3已知圆心在C(ρ1，θ1)，半径为r，求此圆的极坐标方程．【解析】设P(ρ，θ)为圆周上任意一点，如图所示，在△OCP中，∵CP＝r，OC＝ρ1，OP＝ρ，根据余弦定理，得CP2＝OP2＋OC2－2OC·OP·cos(θ－θ1)．即r2＝ρ2＋ρ12－2ρ1ρcos(θ－θ1)．就是ρ2－2ρ1ρcos(θ－θ1)＋(ρ12－r2)＝0.这即为圆在极坐标系中的一般方程．探究2将(ρ，θ)，(ρ1，θ1)归结到△OCP中的边和角，利用余弦定理是解题的关键．思考题3求以(3，－π6)为圆心，半径为1的圆的极坐标方程．【解析】设M(ρ，θ)是所求圆上的任意一点，在△OCM中，|OM|＝ρ，|OC|＝3，|CM|＝1，∠COM＝|θ－(－π6)|＝θ＋π6.由余弦定理，得ρ2＋32－2×3ρcos(θ＋π6)＝12.即ρ2－6ρcos(θ＋π6)＋8＝0.课后巩固1．极坐标方程ρ＝1且θ＝π2表示()A．点B．射线C．直线D．圆答案A解析由ρ＝1，θ＝π2知，其表示圆心在极点，半径为1的圆上的一点A，如图所示．2．过极点倾斜角为π3的直线的极坐标方程可以为()A．θ＝π3B．θ＝π3，ρ≥0C．θ＝4π3，ρ≥0D．θ＝π3和θ＝4π3，ρ≥0答案D解析过极点且倾斜角为π3的直线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝4π3，ρ≥0，故选D.3．极坐标方程7cosθ＋2sinθ＝0表示()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线答案A4．极坐标系中，ρ≥0，过点(1，0)倾斜角为π2的射线的极坐标方程为________．答案ρcosθ＝1(0≤θπ2)解析由题意知，其图形如图所示，故其极坐标为ρcosθ＝1(0≤θπ2)．