习题课(三)(提升关键能力)数系的扩充与复数的引入高频考点一复数的概念1.复数是实数的充要条件(1)z=a+bi(a,b∈R)∈R⇔b=0.(2)z∈R⇔z=z.(3)z∈R⇔z2≥0.2.复数是纯虚数的充要条件(1)z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数⇔a=0,且b≠0.(2)z是纯虚数⇔z+z=0(z≠0).(3)z是纯虚数⇔z20.3.复数相等的充要条件a+bi=c+di⇔a=c,b=d(a,b,c,d∈R).[典例](1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题:p1:若复数z满足1z∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2;p4:若复数z∈R,则z∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4(2)(2017·天津高考)已知a∈R,i为虚数单位,若a-i2+i为实数,则a的值为________.[解析](1)设复数z=a+bi(a,b∈R),对于p1,∵1z=1a+bi=a-bia2+b2∈R,∴b=0,∴z∈R,∴p1是真命题;对于p2,∵z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi∈R,∴ab=0,∴a=0或b=0,∴p2不是真命题;对于p3,设z1=x+yi(x,y∈R),z2=c+di(c,d∈R),则z1z2=(x+yi)(c+di)=cx-dy+(dx+cy)i∈R,∴dx+cy=0,取z1=1+2i,z2=-1+2i,z1≠z2,∴p3不是真命题;对于p4,∵z=a+bi∈R,∴b=0,∴z=a-bi=a∈R,∴p4是真命题.(2)由a-i2+i=a-i2-i2+i2-i=2a-15-2+a5i是实数,得-2+a5=0,所以a=-2.[答案](1)B(2)-2[类题通法]处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是a+bi(a,b∈R)的形式时,要通过变形化为a+bi的形式,以便确定其实部和虚部.(2)求解时,要注意实部和虚部本身对变量的要求,否则容易产生增根.[集训冲关]1.若复数z=1+i(i为虚数单位),z是z的共轭复数,则z2+z-2的虚部为()A.0B.-1C.1D.-2解析:因为z=1+i,所以z=1-i,所以z2+z2=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0.答案:A2.已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,其中m为实数,i为虚数单位,若z1-z2=0,则m的值为()A.4B.-1C.6D.-1或6解析:由题意可得z1=z2,即m2-3m+m2i=4+(5m+6)i,根据两个复数相等的充要条件可得m2-3m=4,m2=5m+6,解得m=-1.答案:B高频考点二复数加、减法的几何意义1.复数的几何意义(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi);(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向量OZ―→是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复平面上与OZ―→相等的向量有无数个.2.复数的模(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=a2+b2;(2)从几何意义上理解,复数z的模表示复数z对应的点z和原点间的距离.[典例](1)(2017·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.12B.22C.2D.2(2)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1[解析](1)因为z=2i1+i=2i1-i1+i1-i=i(1-i)=1+i,所以|z|=2.(2)由已知条件,可得z=x+yi.∵|z-i|=1,∴|x+yi-i|=1,∴x2+(y-1)2=1.[答案](1)C(2)C[类题通法]在复平面内确定复数对应点的步骤(1)由复数确定有序实数对,即z=a+bi(a,b∈R)确定有序实数对(a,b).(2)由有序实数对(a,b)确定复平面内的点Z(a,b).[集训冲关]1.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1B.2C.3D.2解析:∵(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi.又∵x,y∈R,∴x=1,y=1.∴|x+yi|=|1+i|=2.答案:B2.若复数(-6+k2)-(k2-4)i所对应的点在第三象限,则实数k的取值范围是________.解析:由已知得-6+k20,k2-40,∴4k26.∴-6k-2或2k6.答案:(-6,-2)∪(2,6)3.已知复数z1=2+3i,z2=a+bi,z3=1-4i,它们在复平面上所对应的点分别为A,B,C.若OC―→=2OA―→+OB―→,则a=________,b=________.解析:∵OC―→=2OA―→+OB―→∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi)即1=4+a,-4=6+b,∴a=-3,b=-10.答案:-3-10高频考点三复数的代数运算复数运算中常见的结论(1)(1±i)2=±2i,1+i1-i=i,1-i1+i=-i;(2)-b+ai=i(a+bi);(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i;(4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.[典例](1)(2019·全国卷Ⅲ)若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i(2)(2019·北京高考)已知复数z=2+i,则z·z=()A.3B.5C.3D.5(3)(2019·天津高考)i是虚数单位,则5-i1+i的值为________.[解析](1)由z(1+i)=2i,得z=2i1+i=2i1-i1+i1-i=2i1-i2=i(1-i)=1+i.(2)法一:∵z=2+i,∴z=2-i,∴z·z=(2+i)(2-i)=5.法二:∵z=2+i,∴z·z=|z|2=5.(3)∵5-i1+i=5-i1-i1+i1-i=2-3i,∴5-i1+i=|2-3i|=13.[答案](1)D(2)D(3)13[类题通法]进行复数代数运算的策略(1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算.①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项).②复数的乘除运算是复数运算的难点,在乘法运算中要注意i的幂的性质,区分(a+bi)2=a2+2abi-b2与(a+b)2=a2+2ab+b2;在除法运算中,关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数),此时要注意区分(a+bi)(a-bi)=a2+b2与(a+b)(a-b)=a2-b2.(2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可,但要注意把i的幂写成最简单的形式.(3)利用复数相等,可实现复数问题的实数化.[集训冲关]1.复数z满足z(z+1)=1+i,其中i是虚数单位,则z=()A.1+i或-2+iB.i或1+iC.i或-1+iD.-1-i或-2+i解析:设z=a+bi(a,b∈R),由z(z+1)=1+i得a2+b2+a+bi=1+i,所以b=1,a2+a+1=1,所以a=0或a=-1.故z=i或z=-1+i.答案:C2.i是虚数单位,21-i2018+1+i1-i6=________.解析:原式=21-i21009+1+i1-i6=2-2i1009+i6=i1009+i6=i4×252+1+i4+2=i+i2=-1+i.答案:-1+i