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一、复数的概念及代数表示1．定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位，满足i2＝________.2．表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫作复数的代数形式，a与b分别叫作复数z的______与________．－1实部虚部[自主梳理]二、复数的分类复数a＋bi(a，b∈R)实数b＝0虚数b≠0纯虚数a＝0非纯虚数a≠0三、复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔______________.a＝c，且b＝d四、复平面当直角坐标平面用来表示复数时，我们称之为复平面，x轴为________，y轴为________．五、复数的几何意义1．复数z＝a＋bi(a，b∈Z)一一对应,有序实数对(a，b)．2．复数z＝a＋bi(a，b∈Z)一一对应,向量OZ→＝(a，b)．六、复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈Z)的模|z|＝________.实轴虚轴a2＋b2[双基自测]1．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则()A．M∪R＝IB．∁IM∪R＝IC．∁IM∩R＝RD．M∩∁IR＝I解析：弄清数集的分类和集合之间的包含关系以及集合之间的交、并、补的运算．答案：C2．复数z＝3－4i在复平面内的对应点关于虚轴的对称点对应的复数为()A．z′＝3＋4iB．z′＝－3＋4iC．z′＝－3－4iD．z′＝3－4i解析：z＝3－4i对应的点为(3，－4)，关于虚轴对称点为(－3，－4)．答案：C3．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为()A．1B．1或－4C．－4D．0或－4解析：易知4－3a＝a2，－a2＝4a，解得a＝－4.答案：C4．复数z＝3a－6i的模为210，则实数a的值为()A.23B．－23C．±23D.43解析：因为(3a)2＋(－6)2＝40，所以a＝±23.答案：C探究一复数的有关概念[例1]实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．[解析]设z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i.(1)要使z为实数，必须有m2－3m＝0，得m＝0或m＝3，即m＝0或m＝3时，z为实数．(2)要使z为虚数，必须有m2－3m≠0，即m≠0且m≠3.故m≠0且m≠3时，z为虚数．(3)要使z为纯虚数，必须有m2－3m≠0，m2－5m＋6＝0.∴m≠3且m≠0，m＝3或m＝2.∴m＝2时，z为纯虚数．(4)要使z＝0时，依复数相等的充要条件有：m2－5m＋6＝0m2－3m＝0⇒m＝2或m＝3m＝0或m＝3⇒m＝3，∴当m＝3时，复数z为零．复数z＝a＋bi(a，b∈R)为实数⇔b＝0，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为虚数⇔b≠0，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数⇔a＝0，b≠0，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为零⇔a＝0，b＝0.1．已知复数z＝n－4m2－3m－4＋(n2＋3n－4)i.(1)m、n取什么实数值时，z是纯虚数；(2)m、n取什么实数值时，z是实数．解析：(1)z是纯虚数．由n－4m2－3m－4＝0，n2＋3n－4≠0，知n＝4m≠－1且m≠4时为纯虚数．(2)z是实数．由n2＋3n－4＝0，m2－3m－4≠0，知n＝1或n＝－4m≠4且m≠－1时为实数．探究二复数相等[例2]已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x、y的值．[解析]∵x、y为实数，∴2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数，由复数相等的定义知2x－1＝x－y，y＋1＝－x－y.∴x＝3，y＝－2.1．两个复数相等时，应分清楚两复数的实部和虚数，然后让其实部和虚部分别相等，列出相应的方程组求解．本题就是利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想．2．注意题目条件x，y∈R，若x，y未说明是实数，则不能这样解，比如若x为纯虚数，则可设x＝bi(b∈R且b≠0)，然后再根据复数相等求相应的x，y.2．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．解析：因为M∪P＝P，所以MP.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得m2－2m＝－1，m2＋m－2＝0.解得m＝1；由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得m2－2m＝0，m2＋m－2＝4.解得m＝2.综上可知m＝1或m＝2.探究三复数的几何意义[例3]当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面中所对应的点：(1)位于第四象限；(2)位于x轴的负半轴上．[解析](1)由已知得m2－8m＋150，m2＋3m－280，解得m3或m5，－7m4.所以－7m3.(2)由已知得m2－8m＋150，①m2＋3m－28＝0，②由②得m＝－7或m＝4.因为m＝－7不适合①，m＝4适合①，所以m＝4.按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件．3．(2016·高考全国甲卷)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1)B．(－1,3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)解析：根据复数对应的点在第四象限，列出实数m满足的条件，化简得到实数m的取值范围．由题意知m＋3＞0，m－1＜0，即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1)．答案：A求两复数对应向量的夹角[例4](本题满分12分)已知两个向量a，b对应的复数分别是z1＝3，z2＝－5＋5i，求向量a与b的夹角．[解析]因为a，b对应的复数分别是z1＝3，z2＝－5＋5i，所以a＝(3,0)，b＝(－5,5)．…………………………………………4分所以a·b＝－15，|a|＝3，|b|＝52，设a与b的夹角为θ，所以cosθ＝a·b|a||b|＝－153×52＝－22.…………………………………………10分因为0≤θ≤π，所以θ＝3π4.………………………………………………………………………12分[规范与警示]将复数的代数形式转化为向量的表示形式，转化要正确．(易失分点)熟记向量的夹角公式．(关键点)向量夹角的取值范围勿忽视．(易漏点)复数与复平面上的点与向量的对应这种对应关系使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．