2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程章末归纳整合课件 新人教A版必修2

章末归纳整合分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．在用二元二次方程表示圆时，要分类讨论；在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论．分类讨论思想【例1】已知直线l经过点P(－4，－3)且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程．【分析】解决本题需要先设出直线方程，解决问题时应分斜率存在与不存在两种情况进行讨论．【解析】圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5.①当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意．②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0.由题意可知|－k＋2＋4k－3|1＋k22＋822＝52，解得k＝－43，即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0.综上所述，满足题设的l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.【点评】在求解直线的方程时，不仅要考虑斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况．【变式训练1】如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点．(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．【解析】(1)设圆A的半径为r.由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝|－1＋4＋7|5＝25.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)设MN的中点为Q，连接AQ，则AQ⊥MN.∵|MN|＝219，∴|AQ|＝20－19＝1.①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.则由|AQ|＝|－k－2＋2k|k2＋1＝1，得k＝34.直线方程为3x－4y＋6＝0.综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.函数与方程的思想就是用函数和方程的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，在解决圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系等问题时，经常需要列出方程组，利用函数与方程的思想解题．函数与方程的思想【分析】根据题意可知，本题宜采用标准方程求解．【例2】求圆心在圆x－322＋y2＝2上且与x轴和直线x＝－12都相切的圆的方程.【解析】设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵圆x－322＋y2＝2在直线x＝－12的右侧且所求的圆与x轴和直线x＝－12都相切，∴a－12.∴r＝a＋12，r＝|b|.又圆心(a，b)在圆x－322＋y2＝2上，∴a－322＋b2＝2.∴r＝a＋12，r＝|b|，a－322＋b2＝2.解得a＝12，r＝1，b＝±1.∴所求圆的方程为x－122＋(y－1)2＝1或x－122＋(y＋1)2＝1.【点评】本题采用的是方程思想，解题时要充分挖掘题目中的等量条件．【变式训练2】有一圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)且经过点B(5,2)，求此圆的方程．【解析】方法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得3－a2＋6－b2＝r2，5－a2＋2－b2＝r2，b－6a－3×43＝－1，解得a＝5，b＝92，r2＝254.所以圆的方程为(x－5)2＋y－922＝254.方法二：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得32＋62＋3D＋6E＋F＝0，52＋22＋5D＋2E＋F＝0，－E2－6－D2－3×43＝－1.解得D＝－10，E＝－9，F＝39.所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.数形结合思想是一种重要的思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，通过对图形的认识及数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、抽象性，使问题化难为易，化抽象为具体．数形结合的思想【分析】将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，作出两个函数的图象，利用数形结合的思想求解．【例3】关于x的方程9－x2＝k(x－3)＋4有两个不同的实数解时，实数k的取值范围是()A.0，724B.724，＋∞C.13，23D．724，23【解析】令y＝9－x2，显然y2＝9－x2(y≥0)，表示半圆，直线y＝k(x－3)＋4过定点M(3,4)，如图所示．当直线y＝k(x－3)＋4与半圆y＝9－x2有两个交点时，kMDk≤kMA，其中D点为切点．因为直线kx－y－3k＋4＝0，圆心到直线的距离d＝|－3k＋4|1＋k2，所以由d＝3，解得kMD＝724.又kMA＝23，所以724k≤23.故选D.【点评】解题的关键是从曲线的变化中找出不变的特征，如本题恒过定点(3,4)，对变化的直线而言，常见的不变特征为：①过定点；②斜率不变．【变式训练3】已知⊙O：x2＋y2＝4和⊙C：x2＋(y－8)2＝4，直线y＝52x＋b与两圆均无交点，求实数b的取值范围．【解析】如图所示，直线方程是5x－2y＋2b＝0.当直线与⊙O相切时，|2b|5＋4＝2，解得b＝±3.当直线与⊙C相切时，|－16＋2b|5＋4＝2，解得b＝5或b＝11.结合图形知3b5.故实数b的取值范围是(3,5)．数学问题的解答离不开转化与化归，所谓化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得以解决的方法．一般地，总是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解的问题转化为容易解决的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归的思想【例4】已知实数x，y满足y＝－2x＋8且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值．【分析】将代数式yx的最值问题转化为斜率的最值问题，数形结合求解．【解析】如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．由于yx的几何意义是直线OP的斜率，又kOA＝2，kOB＝23，所以可求得yx的最大值为2，最小值为23.【点评】若所求最值或范围的式子可化为y2－y1x2－x1的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解．【变式训练4】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．【解析】(1)原方程化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为圆心，半径为3的圆．设yx＝k，即y＝kx，当直线kx－y＝0与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时有|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.故yx的最大值为3，最小值为－3.(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当x－y＋b＝0与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6.故(y－x)max＝－2＋6，(y－x)min＝－2－6.(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知其在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又知圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝(2－3)2＝7－43.高考主要以选择、填空题的形式考查圆的方程的求法，或利用圆的几何性质、数形结合求函数式的最值．也可与其他曲线结合综合考查圆的方程的应用．求圆的方程的主要方法是待定系数法，确定圆的方程需要三个独立的条件，求解时要注意结合图形，观察几何特征，简化运算．1．(2016年北京)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A．1B．2C．2D．22【答案】C【解析】∵圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心为(－1,0)，∴圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为d＝|－1＋3|2＝2.故选C．2．(2018年新课标Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[2，32]D．[22，32]【答案】A【解析】由A(－2,0)，B(0，－2)，则△ABP的底边|AB|＝22，圆心(2,0)到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝|2＋0＋2|2＝22.又因为半径为r＝2，所以点P到直线x＋y＋2＝0的距离的最大值为22＋2＝32，最小值为22－2＝2，则△ABP面积的最大值为Smax＝12×22×32＝6，最小值为Smin＝12×22×2＝2，故△ABP面积的取值范围为[2,6]．3．(2016年山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】B【解析】由题意知圆M的圆心为(0，a)，半径为a.∵圆M被直线x＋y＝0所截弦长为22，∴a22＋(2)2＝a2，解得a＝2.∴|MN|＝12＋12＝2.而2－1＜2＜2＋1，∴圆M与圆N相交．4．(2016年浙江)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是______．【答案】(－2，－4)5【解析】∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径r＝5.a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x＋122＋(y＋1)2＝－54，不表示圆，舍去．5．(2018年新课标Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.【答案】22【解析】由x2＋y2＋2y－3＝0，得圆心为(0，－1)，半径为2，所以圆心到直线的距离d＝22＝2.所以|AB|＝222－22＝22.6．(2017年新课标Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．【解析】(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，∴x1x2＝－2.又C的坐标为(0,1)，∴AC的斜率与BC的斜率之积为－1x1·－1x2＝－12.∴不能出现AC⊥BC的情况．(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为x22，12，可得BC的中垂线方程为y－12＝x2x－x22.由(1)可得x1＋x2＝－m，∴AB的中垂线方程为x＝－m2.联立x＝－m2，y－12＝x2x－x22，x22＋mx2－2＝0，解得x＝－m2，y＝－12.∴过A，B，C三点的圆的圆心坐标为－m2，－12，半径r＝m2＋92.∴圆在y轴上截得的弦长为2r2－m22＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．