2019-2020学年高中数学 第四章 定积分 2 微积分基本定理课件 北师大版选修2-2

[自主梳理]微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有abfxdx＝.定理中的式子称为__________，通常称F(x)是f(x)的一个________．在计算定积分时，常常用记号F(x)|ba来表示F(b)－F(a)，于是牛顿­莱布尼茨公式也可写作abf(x)dx＝F(x)|ba＝________.F(b)－F(a)牛顿­莱布尼茨公式原函数F(b)－F(a)[双基自测]1.－ππ(sinx＋cosx)dx等于()A．0B．－1C．1D．2解析：－ππ(sinx＋cosx)dx＝－ππsinxdx＋－ππcosxdx＝(－cosx)|π－π＋sinx|π－π＝0＋0＝0.答案：A2．计算20xxsincos222dx＝()A.π2B.π2＋1C．－π2D．0解析：因为sinx2＋cosx22＝sin2x2＋2sinx2cosx2＋cos2x2＝1＋sinx，所以20xxsincos22dx＝20(1sin)x＋dx＝20x＋(－cosx)20＝π2＋1.答案：B3．若01(2x＋k)dx＝2－k，则实数k的值为()A.12B．－12C．1D．0解析：因为01(2x＋k)dx＝2－k，所以x210＋kx10＝2－k，所以1＋k＝2－k，所以k＝12.答案：A4．若aa－a(2x－1)dx＝－8，则a＝________.解析：因为aa(2x－1)dx＝－8，所以(x2－x)a－a＝－8，所以(a2－a)－(a2＋a)＝－8，所以a＝4.4探究一用微积分基本定理计算定积分[例1]计算下列定积分：(1)01cosxdx；(2)01(2x＋1)dx；(3)12(2x＋1x)dx.[解析](1)取F(x)＝sinx，∵(sinx)′＝cosx，∴01cosxdx＝sinx|10＝sin1－sin0＝sin1.(2)取F(x)＝x2＋x，∵(x2＋x)′＝2x＋1，∴01(2x＋1)dx＝(x2＋x)|10＝(1＋1)－0＝2.(3)∵(x2)′＝2x，∴12(2x＋1x)dx＝122xdx＋121xdx＝x2|21＋ln|x||21＝4－1＋ln2－ln1＝3＋ln2.计算定积分时注意两点：一是注意确定原函数F(x)；二是注意积分区间，最后结果是F(x)在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)．1．求下列定积分：(1)31(3x2－2x＋1)dx；(2)20sinxdx；(3)121x2dx.解析：(1)31(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|3－1＝(27－9＋3)－(－1－1－1)＝24.(2)20sinxdx＝(－cosx)20＝1.(3)121x2dx＝－1x|21＝－(12－1)＝12.探究二分段函数的定积分[例2](1)若f(x)＝x2，x≤0，cosx－1，x0，求11dfxx；(2)201－sin2xdx.[解析](1)11f(x)dx＝01x2dx＋01(cosx－1)dx＝13x3|0－1＋(sinx－x)|10＝－23＋sin1.(2)201－sin2xdx＝20sinx－cosx2dx＝20|sinx－cosx|dx＝40|sinx－cosx|dx＋24|sinx－cosx|dx＝40(cosx－sinx)dx＋24(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)40－(cosx＋sinx)24＝2(2－1)．对于被积函数是分段函数的定积分，通常是依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．要注意各段定积分的上、下限的取值区间．对于较复杂的被积函数，要先化简，再求定积分．若是计算ab|f(x)|dx，需要去掉绝对值符号，这时要讨论f(x)的正负，转化为分段函数求原积分问题．2．(1)计算定积分02|x2－1|dx；(2)求136x·(x＋1x)2dx.解析：(1)因为f(x)＝|x2－1|＝|x－1||x＋1|＝x2－1，x－1，1－x2，－1≤x≤1，x2－1，x1.所以02|x2－1|dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝011dx－01x2dx＋12x2dx－121dx＝x|10－13x3|10＋13x3|21－x|21＝1－13＋13(8－1)－(2－1)＝1－13＋83－13－1＝2.(2)原式＝136(x2＋2x＋1)dx＝613(x2＋2x＋1)dx＝6(13x3＋x2＋x)|31＝112.探究三微积分基本定理的综合应用[例3]已知x∈(0,1]，f(x)＝01(1－2x＋2t)dt，求f(x)的值域．[解析]01(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]10＝2－2x，即f(x)＝－2x＋2，因为x∈(0,1]，所以f(1)≤f(x)＜f(0)，即0≤f(x)＜2，所以函数f(x)的值域是[0,2)．含有参数的定积分问题的处理方法与注意点(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式等数学知识综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与原函数F(x)等概念．3．设F(x)＝0x(t2＋2t－8)dt.(1)求F(x)的单调区间；(2)求F(x)在[1,3]上的最值．解析：依题意：F(x)＝0x(t2＋2t－8)dt＝(13t3＋t2－8t)|x0＝13x3＋x2－8x，定义域是(0，＋∞)．(1)F′(x)＝x2＋2x－8，令F′(x)0，得x2或x－4，令F′(x)0，得－4x2.由于定义域是(0，＋∞)，∴函数的增区间是(2，＋∞)，减区间是(0,2)．(2)令F′(x)＝0，得x＝2(x＝－4舍去)，由于F(1)＝－203，F(2)＝－283，F(3)＝－6，∴F(x)在[1,3]上的最大值是F(3)＝－6，最小值是F(2)＝－283.利用函数的奇偶性巧解定积分[例4]已知函数f(x)＝x2－2x＋1，0≤x≤2，x2＋2x＋1，－2≤x＜0，求22dfxx的值．[解析]因为f(x)为偶函数，所以22dfxx＝202(x2－2x＋1)dx＝2×13x3－x2＋x20＝213×23－22＋2＝43.[感悟提高]奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分(1)若奇函数y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续，则daafxx＝0.(2)若偶函数y＝g(x)的图像在[－a，a]上连续，则daagxx＝20ag(x)dx，如本例为偶函数，可用该结论计算．