2019-2020学年高中数学 第四章 导数应用章末优化总结课件 北师大版选修1-1

专题一利用导数研究函数的单调性对函数单调性的讨论，往往先确定定义域，然后在定义域内由f′(x)的符号处理问题．应用导数求函数单调区间的基本步骤：①求导数f′(x)；②解不等式f′(x)0或f′(x)0；③确定并指出单调区间．已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．[解析](1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.专题二利用导数求函数的极值与最值用导数求函数的极值、最值是高中学习的重点，也是高考的热点．最值可根据函数的单调性、基本不等式的性质等知识来求．而用导数求最值，是一种重要而又简单的方法，利用导数作工具，判断函数的单调性，进而求出极值和区间端点的函数值，最后比较大小，得到函数的最值．设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．[解析]对f(x)求导得f′(x)＝ex1＋ax2－2ax1＋ax22.①(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.结合①，可知x－∞，121212，323232，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a＞0，知1＋ax2－2ax≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.所以a的取值范围为a|0＜a≤1.专题三导数在实际问题中的应用解决实际应用问题是数学学习和研究的最终归宿，利用导数来研究实际问题在某点处的变化特征更是简洁明了．因而，利用导数来刻画变化率问题，最优解问题越来越成为高考命题的一个热点，其中利用导数求函数的极大(小)值，求函数在区间[a，b]上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法能使复杂的问题简单化．利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法：(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，得出所有实数的解．(3)比较在导函数各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640时，需新建多少个桥墩才能使y最小？[解析](1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝mx－1.∴y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x＝256mx－1＋mx2＋xx＝256mx＋mx＋2m－256(0xm)．(2)由(1)，知f′(x)＝－256mx2＋＝m2x2(－512)．令f′(x)＝0，得＝512，解得x＝64.当0x64时，f′(x)0，f(x)在区间(0,64)上为减函数；当64x640时，f′(x)0，f(x)在区间(64,640)上为增函数．∴f(x)在x＝64处取得极小值，也是最小值，此时n＝mx－1＝64064－1＝9.∴需新建9个桥墩才能使y最小．