2019-2020学年高中数学 第四章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用 2.1 实际问题中导数

实际问题中导数的意义自变量x原函数f(x)导函数f′(x)________路程速度长度质量________时间功________时间降雨量________产量生产成本________时间线密度功率降雨强度边际成本[疑难提示]利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．[练一练]1．若一物体运动的路程s与时间t之间的关系为s＝s(t)，当s′(t)＝0时，则()A．物体做匀加速运动B．物体做匀减速运动C．物体做变速运动D．物体处于静止状态解析：∵v＝s′(t)＝0，∴物体处于静止状态．故选D.答案：D2．某收音机制造厂管理者通过对上午班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，则Q′(2)＝________，它的实际意义为________________．解析：∵Q′(t)＝－3t2＋18t＋12，∴Q′(2)＝36.答案：36台/小时10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时探究一导数在物理学中的应用[典例1]一个电路中，流过的电荷量Q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数为Q(t)＝3t2－lnt.(1)求当t从1变到2时，电荷量Q关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求Q′(2)，并解释它的实际意义．[解析](1)当t从1变到2时，电荷量从Q(1)变到Q(2)，此时电荷量关于时间t的平均变化率为Q2－Q12－1＝3×22－ln2－3×12－ln11≈8.31，它表示从t＝1s到t＝2s这段时间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31C，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31A.(2)Q′(t)＝6t－1t，Q′(2)＝11.5，它的实际意义是，在t＝2s这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5C，也就是这一时刻内电路的电流为11.5A.弄清平均变化率及导数的实际意义，记准基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则是解决该类问题的关键．1．某质点的运动方程为s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s)．(1)求t从1s变到3s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义．解析：(1)t从1s变到3s时，s关于t的平均变化率为ΔsΔt＝s3－s13－1＝27－53－1＝11(m/s)．它表示从t＝1s到t＝3s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11m.(2)根据导数公式表和导数的运算法则，可得s′(t)＝4t＋3，则s′(1)＝4＋3＝7(m/s)，s′(2)＝4×2＋3＝11(m/s)．s′(1)和s′(2)分别表示t＝1s和t＝2s时，位移s关于时间t的瞬时变化率，即t＝1s和t＝2s时的瞬时速度．探究二工作效率问题[典例2]一名工人上班后开始连续工作，生产的产品数量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数表示为y＝f(x)＝x220＋4x.(1)求x从1h变到4h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求f′(1)，f′(4)，解释它的意义．[解析](1)当x从1h变到4h时，产量y从f(1)＝8120g变到f(4)＝17620g，此时平均变化率为f4－f14－1＝17620－81203＝1912(g/h)，它表示从x＝1h到x＝4h这段时间这个人平均每小时生产1912g产品．(2)f′(x)＝x10＋2x，于是f′(1)＝2110g/h，f′(4)＝75g/h，f′(1)和f′(4)分别表示在第1h和第4h时刻这个人每小时生产产品2110g和75g.1．工作效率即产量对时间t的导数．解决该类问题时要正确表示出工作时间与产品数量之间的函数关系式，然后利用相应的求导公式及法则解决．2．由平均变化率和瞬时变化率的计算公式可知它们有时为负值或零，这时表示函数值减小或不变，解释导数的实际意义时要注意用词的不同．2．某考生在参加2015年高考数学考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝2x.(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率；(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义．解析：(1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为：f36－f036－0＝1236＝13.它表示该考生前36分钟平均每分钟解答完13道题．(2)∵f′(x)＝1x，∴f′(64)＝18，f′(100)＝110.它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答18和110道题．3．东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7000x＋600.(1)求产量为1000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量；(3)求c′(1000)与c′(1500)，并说明它们的实际意义．解析：(1)产量为1000台时的总利润为c(1000)＝－2×10002＋7000×1000＋600＝5000600(元)，平均利润为c10001000＝5000.6(元)．(2)当产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量为c1500－c10001500－1000＝6000600－5000600500＝2000(元)．(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7000x＋600)′＝－4x＋7000，∴c′(1000)＝－4×1000＋7000＝3000(元)，c′(1500)＝－4×1500＋7000＝1000(元)，它指的是当产量为1000台时，每多生产一台机械可多获利3000元．而当产量为1500台时，每多生产一台机械可多获利1000元．探究三导数在经济生活中的应用[典例3]某机械厂，生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数为C(x)＝14x2＋60x＋2050.(1)求日产量75件时的总成本和平均成本；(2)当日产量由75件提高到90件时，求总成本的平均改变量；(3)求C′(75)，并解释它的意义．[解析](1)日产量75件时的总成本为C(75)＝7956.25(元)，平均成本为C(75)/75≈106.08(元/件)．(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量ΔCΔx＝C90－C7590－75＝101.25(元/件)．(3)C′(x)＝12x＋60，∴当x＝75时，C′(75)＝97.5(元)．实际意义为：当日产量为75件时，再多生产1件产品，成本增加97.5元，也就是日产量为75件时，成本增加的速度为97.5元/件．4．某食品厂生产某种食品的总成本C(单位：元)和总收入R(单位：元)都是日产量x(单位：kg)的函数，分别为C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200kg,250kg,300kg时的边际利润，并说明其经济意义．解析：(1)根据定义知，总利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，所以边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x.(2)当日产量分别为200kg,250kg,300kg时，边际利润分别为L′(200)＝1，L′(250)＝0，L′(300)＝－1.其经济意义是：当日产量为200kg时，每增加1kg，则总利润可增加1元；当日产量为250kg时，每增加1kg，则总利润无变化；当日产量为300kg时，每增加1kg，则总利润减少1元．由此可得：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．5．日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝5284100－x(80x100)．(1)求c′(x)；(2)求c′(90)，c′(98)，并解释它们的实际意义．解析：(1)c′(x)＝5284100－x′＝5284′×100－x－5284×100－x′100－x2＝0×100－x－5284×－1100－x2＝5284100－x2.(2)c′(90)＝5284100－902＝52.84(元/吨)，c′(98)＝5284100－982＝1321(元/吨)．因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率，所以纯净度为90%时，纯净度每提高1个百分点，每吨水的费用就要增加52.84元．纯净度为98%时，纯净度每提高1个百分点，每吨水的费用就要提高1321元．因物理意义理解不清致误[典例]在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10(单位：m)，求高台跳水运动中运动员在t＝1s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．[解析]h′(t)＝－9.8t＋6.5，所以h′(1)＝－3.3.故运动员在t＝1s时的瞬时速度是－3.3m/s，此时运动员向下以3.3米/秒的速度运动．[错因与防范](1)对该问题求得当t＝1s时的瞬时速度为－3.3m/s，由于对其中“负”号的物理意义理解不明，易回答为正值而出错．(2)瞬时速度既有大小也有方向，如果是负值，不能回答为正值，它表明了运动速度的大小和方向．(3)利用导数解决物理问题，关键是要熟悉相关的物理概念、公式，并联系导数的物理意义进行求解．