2019-2020学年高中数学 第四章 导数应用 1 函数的单调性与极值 1.2 函数的极值课件 北

一、函数极值的定义1．极大值点与极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都________x0点的函数值，称______为函数y＝f(x)的极大值点，其__________为函数的极大值．2．极小值点与极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都________x0点的函数值，称______为函数y＝f(x)的极小值点，其__________为函数的极小值．3．极值与极值点：________与________统称为极值，__________与__________统称为极值点．不大于点x0函数值f(x0)不小于点x0函数值f(x0)极大值极小值极大值点极小值点二、求极值点的一般步骤1．求出___________；2．解方程___________；3．对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：(1)若f′(x)在x0两侧的符号“___________”，则x0为极大值点；(2)若f′(x)在x0两侧的符号“___________”，则x0为极小值点；(3)若f′(x)在x0两侧的符号“________”，则x0不是极值点．导数f′(x)f′(x)＝0左正右负左负右正相同[想一想]1．同一函数的极大值一定大于它的极小值吗？提示：不一定，极值是一个局部概念．例如函数y＝2x＋8x在x＝－2时，取y极大值＝－8；而当x＝2时，取y极小值＝8.2．导数为0的点一定是极值点吗？导数为0是该点为极值点的什么条件？提示：只有当这点左右两侧导数异号时为极值点，否则不是，如f(x)＝x3，在x＝0处导数为0，但不是极值点，由此可得导数为0不是该点为极值点的充分条件；又如f(x)＝|x|，x＝0为其极值点，但f(x)在x＝0处不可导，由此可得，某点为极值点也不是该点导数为0的充分条件．综上，导数为0是该点为极值点的既不充分也不必要条件．[练一练]3．函数f(x)＝32x2－lnx的极值点为()A．0,1，－1B.33C．－33D.33，－33解析：由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－1x＝3x2－1x，令f′(x)＝0，得x＝33x＝－33舍去.当x33时，f′(x)0；当0x33时，f′(x)0.所以当x＝33时，f(x)取得极小值．从而f(x)的极小值点为x＝33，无极大值点，选B.答案：B4．函数y＝2x3－15x2＋36x－24的极大值为________，极小值为________．解析：y′＝6x2－30x＋36，即y′＝6(x－2)(x－3)，令y′＝0，得x＝2或x＝3，经判断极大值为f(2)＝4，极小值为f(3)＝3.答案：43探究一求函数的极值[典例1]求下列函数的极值点和极值：(1)f(x)＝13x3－x2－3x＋4；(2)f(x)＝x2ex.[解析](1)∵f(x)＝13x3－x2－3x＋4，∴f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．∴f(x)极大值＝f(－1)＝173，f(x)极小值＝f(3)＝－5.(2)∵f(x)＝x2ex，∴f′(x)＝2xex＋x2ex＝ex(x2＋2x)．令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：x(－∞，－2)－2(－2,0)0(0，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由表可知：x＝－2是f(x)的极大值点，x＝0是f(x)的极小值点．f(x)极大值＝f(－2)＝4e－2，f(x)极小值＝f(0)＝0.1．求可导函数f(x)极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的全部实根；(4)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近f′(x)0，右侧附近f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近f′(x)0，右侧附近f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．2．在f(x0)存在时，f′(x0)＝0只是函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件，必须再加上在x0左右两侧导数的符号相反，才能断定函数在x0处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的错误．1.已知f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极大值是()A．－2a＋cB．－4a＋cC．－3aD．c解析：由导函数f′(x)的图像知，当0x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0；当x＝2时，f′(x)＝0.又f′(x)＝3ax2＋2bx，所以b＝－3a，f(x)＝ax3－3ax2＋c，所以函数f(x)的极大值为f(2)＝－4a＋c.答案：B2．求下列函数的极值：(1)f(x)＝－x3＋12x＋6；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.解析：(1)f′(x)＝－3x2＋12＝－3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)－1022由上表看出，当x＝－2时，f(x)取得极小值，f(x)极小值＝f(－2)＝－10；当x＝2时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(2)＝22.(2)f′(x)＝2x2＋1－4x2x2＋12＝21＋x1－xx2＋12.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)－3－1由上表看出，当x＝－1时，f(x)取得极小值，f(x)极小值＝f(－1)＝－3；当x＝1时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(1)＝－1.探究二求含参数的函数的极值[典例2]设函数f(x)＝ax2＋2lnx，其中a≠0，试讨论f(x)的极值．[解析]由已知得f(x)的定义域为{x|x0}，f′(x)＝2ax＋2x＝2ax2＋1x.①当a0时，f′(x)0，∴y＝f(x)为(0，＋∞)上的增函数，此时f(x)无极值．②当a0时，令f′(x)＝0可得：2ax2＋1x＝0，即ax2＋1＝0，∴x2＝－1a，∴x＝－1a或－－1a.又∵－－1a∉(0，＋∞)，∴x＝－1a.又∵f′(x)＝2ax－－1ax＋－1ax，∴当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如表所示：0，－1a－1a－1a，＋∞f′(x)＋0－f(x)极大值由表可知，函数f(x)有且只有一个极大值点，极大值为f(x)极大值＝f－1a＝ln－1a－1.综上可知：当a0时，函数f(x)无极值．当a0时，函数f(x)有且只有一个极大值点x＝－1a，且极大值为ln－1a－1.对于含参数函数的极值，若参数对函数的单调性(即导数的正负)有影响，需对参数分类讨论．3．已知函数f(x)＝x－2x＋a(2－lnx)(a0)，求函数f(x)的单调区间与极值点．解析：f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋2x2－ax＝x2－ax＋2x2.设g(x)＝x2－ax＋2，对于二次方程g(x)＝0,判别式Δ＝a2－8.①当Δ＝a2－80，即0a22时，对一切x0都有f′(x)0，此时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，无极值点．②当Δ＝a2－8＝0，即a＝22时，仅对x＝2有f′(x)＝0，对其余的x0都有f′(x)0，此时f(x)在(0，＋∞)上也是增函数，无极值点．③当Δ＝a2－80，即a22时，方程g(x)＝0有两个不同的实数根x1＝a－a2－82，x2＝a＋a2－82，0x1x2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)f(x1)f(x2)此时f(x)在(0，a－a2－82)上是增加的，在(a－a2－82，a＋a2－82)上是减少的，在(a＋a2－82，＋∞)上是增加的．x1＝a－a2－82是函数的极大值点，x2＝a＋a2－82是函数的极小值点．4．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．解析：(1)f′(x)＝3x2－3a，因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，所以f′2＝0f2＝8，即34－a＝08－6a＋b＝8，解得a＝4，b＝24.(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当a＜0时，f′(x)＞0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值点．当a＞0时，令f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝－a.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－a)－a(－a，a)a(a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值因此，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)和(a，＋∞)，单调递减区间为(－a，a)，此时x＝－a是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．探究三函数极值的应用函数极值的应用——函数极值的逆用—研究方程的根—极值的综合应用5．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1)求a，b的值；(2)若函数f(x)有极大值13，求c的值．解析：(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，故有f′(1)＝0，f′(2)＝0，即6＋6a＋3b＝0，24＋12a＋3b＝0，解得a＝－3，b＝4，经检验符合题意．(2)由(1)可知f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c.f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．当x＝1或2时，f′(x)＝0；当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；当x∈(1,2)时，f′(x)0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0.所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c.故由题意得5＋8c＝13，即c＝1.6．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．解析：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.因为当x2或x－2时，f′(x)0；当－2x2时，f′(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－42.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图像的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42a5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图像有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的解．7．已知函数f(x)＝exx＋a(x－lnx)，e为自然对数的底数．(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在12，2上有三个不同的极值点，求实数a的取值范围．解析：(1)由题意，知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝exx－1x2＋a1－1x＝exx－1＋axx－1x2＝ex＋axx－1x2.当a0时，对于任意的x∈(0，＋∞)，ex＋ax0恒成立，∴若x1，则f′(x)0，若0x1，则f′(x)0，∴当a0时，函数f(x)