2019-2020学年高中数学 第四章 导数应用 1 函数的单调性与极值 1.1 导数与函数的单调性

一、一般地，在区间(a，b)内，函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)＞0单调______f′(x)＜0单调______f′(x)＝0常数函数递增递减二、求函数f(x)的单调区间的步骤1．确定f(x)的定义域(a，b)．2．求f(x)的导数f′(x)．3．令f′(x)0(或f′(x)0)，解出相应的x的范围．当f′(x)0时，f(x)在相应区间上是________；当f′(x)0时，f(x)在相应区间上是________．增函数减函数[疑难提示]利用导数讨论函数的单调区间时应注意的问题(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；在解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间；(2)在划分单调区间时，除了确定使f′(x)＝0的点外，还要注意不连续点和不可导点；(3)当求得单调区间有两个或两个以上时，不能把这些区间取并集．[想一想]1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立，比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上是递增的充分不必要条件．[练一练]2．f(x)＝3x2－x－1的单调递增区间是()A.16，＋∞B.－∞，16C.－16，＋∞D.－∞，－16解析：f′(x)＝6x－1，令f′(x)0，得x16.答案：A3．函数f(x)＝xlnx()A．在(0,5)上是增函数B．在(0,5)上是减函数C．在0，1e上是减函数，在1e，5上是增函数D．在0，1e上是增函数，在1e，5上是减函数解析：由f(x)＝xlnx，可得f′(x)＝lnx＋x·1x＝lnx＋1.由f′(x)0，可得x1e；由f′(x)0，可得0x1e.所以函数f(x)在0，1e上是减函数，在1e，5上是增函数．答案：C探究一判断或证明函数的单调性[典例1]求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．[证明]由f(x)＝ex－x－1，得f′(x)＝ex－1.当x∈(0，＋∞)时，ex－10，即f′(x)0，∴f(x)在(0，＋∞)内为增函数．当x∈(－∞，0)时，ex－10，即f′(x)0，∴f(x)在(－∞，0)内是减函数．利用导数证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是证明不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0(但不恒等于零)在给定区间上恒成立，这时一般是先将函数的导数求出来，然后对其进行整理、化简、变形，根据不等式的相关知识，在给定区间上判断其取值范围，从而得证．1．求下列函数的单调区间，指出其单调性．(1)y＝－2x＋cosx；(2)y＝x3－x.解析：(1)由题意得y′＝－2－sinx，∵－1≤sinx≤1，∴y′0，单调区间为(－∞，＋∞)，且函数y＝－2x＋cosx在R上为减少的．(2)函数的定义域为R，令y′＝3x2－10，得x－33或x33；令y′＝3x2－10，得－33x33.∴y＝x3－x有三个单调区间．其中在－∞，－33和33，＋∞上分别是增加的，在－33，33上是减少的．2．已知函数f(x)＝lnx＋kex(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求实数k的值；(2)求f(x)的单调区间．解析：(1)由f(x)＝lnx＋kex，可得f′(x)＝1x－k－lnxex.∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，∴f′(1)＝0，即1－ke＝0，解得k＝1.(2)由(1)，知f′(x)＝1x－1－lnxex(x0)，令f′(x)＝0，可得x＝1.当0x1时，f′(x)＝1x－1－lnxex0，f(x)在(0,1)上单调递增；当x1时，f′(x)＝1x－1－lnxex0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减．综上，f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．探究二已知函数单调性求参数的取值范围[典例2]已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．[解析](1)由f(x)＝x3－ax－1知f′(x)＝3x2－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R上恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0.又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．∵－1x1，∴3x23，∴只需a≥3.当a≥3时，f′(x)＝3x2－a在x∈(－1,1)上恒有f′(x)0，即f(x)在(－1,1)上为减函数．故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．关于不等式的恒成立问题，可以转化为求函数的最值问题来研究，如a≥f(x)(x∈D)得a≥f(x)max(x∈D)；a≤f(x)(x∈D)得a≤f(x)min(x∈D)．这种转化思想很重要，要注意掌握．3．已知函数f(x)＝x3＋ax(x≠0，常数a∈R)．(1)当a＝48时，求f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解析：(1)当a＝48时，f(x)＝x3＋48x，f′(x)＝3x2－48x2＝3x4－48x2＝3x2＋4x＋2x－2x2，令f′(x)0，得－2x0或0x2，∴f(x)的单调递减区间为(－2,0)，(0,2)．(2)要使f(x)在[2，＋∞)上是增函数，需f′(x)＝3x2－ax2＝3x4－ax2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤3x4在[2，＋∞)上恒成立．令g(x)＝3x4，x∈[2，＋∞)，则a≤g(x)min.∵g′(x)＝12x3，x∈[2，＋∞)，∴g′(x)0，即g(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴g(x)min＝g(2)＝48，从而a≤48，∴实数a的取值范围是(－∞，48]．4．已知函数f(x)＝x3－ax＋6.(1)若函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值和函数的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上是增加的，求a的取值范围．解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2－a.∵函数f(x)的一个单调递减区间为(－1,1)．∴3x2－a0的解集为(－1,1)，即3×(±1)2－a＝0.∴a＝3.当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，令f′(x)0，则x1或x－1.∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．(2)∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增加的，∴f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立．∴a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝3x2，当x∈(1，＋∞)时，g(x)g(1)＝3.∴a≤3.当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，此时函数f(x)在(1，＋∞)上增加，∴a的取值范围是(－∞，3]．探究三导数研究函数单调性的应用导单数调研性究的函应数用——f′x的图像与fx图像间的关系—求函数的单调区间—证明不等关系5．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝x＋bx(b0)．解析：(1)f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝3x2－4x＋10，得x13或x1，因此函数f(x)＝x3－2x2＋x的单调递增区间为－∞，13和(1，＋∞)，令f′(x)0，解得13x1，因此函数的递减区间为13，1.(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝x＋bx′＝1－bx2＝1x2(x＋b)(x－b)．令f′(x)0，即1x2(x＋b)(x－b)0，得xb或x－b，∴函数的单调递增区间为(－∞，－b)和(b，＋∞)．令f′(x)0，即1x2(x＋b)(x－b)0，得－bxb且x≠0.∴函数的单调递减区间为(－b，0)和(0，b)．6．已知x∈R，求证：ex≥x＋1.证明：令f(x)＝ex－x－1，∴f′(x)＝ex－1.∵x∈[0，＋∞)时，ex－1≥0恒成立，即f′(x)≥0，∴f(x)在[0，＋∞)上是递增的．当x∈(－∞，0)时，f′(x)＝ex－10恒成立，∴f(x)在(－∞，0)上是递减的．又∵f(0)＝0，∴当x∈R时f(x)≥f(0)．即ex－x－1≥0，∴ex≥x＋1.分类讨论思想在判断含参数函数单调性中的应用[典例]设函数f(x)＝alnx＋x－1x＋1，其中a为常数，求函数f(x)的单调性．[解析]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝ax＋2x＋12＝ax2＋2a＋2x＋axx＋12.当a≥0时，f′(x)0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的．当a0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－12x－12xx＋12≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的．②当a－12时，Δ0，g(x)0，f′(x)0，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的．③当－12a0时，Δ0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝－a＋1＋2a＋1a，x2＝－a＋1－2a＋1a.由x1＝a＋1－2a＋1－a＝a2＋2a＋1－2a＋1－a0，所以x∈(0，x1)时，g(x)0，f′(x)0，函数f(x)是减少的；x∈(x1，x2)时，g(x)0，f′(x)0，函数f(x)是增加的；x∈(x2，＋∞)时，g(x)0，f′(x)0，函数f(x)是减少的．综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的；当a≤－12时，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的；当－12a0时，f(x)在0，－a＋1＋2a＋1a，－a＋1－2a＋1a，＋∞上是减少的，在－a＋1＋2a＋1a，－a＋1－2a＋1a上是增加的．[感悟提高](1)若参数对导函数的正负有影响，需对参数分类讨论，否则不需讨论参数．(2)当含多个参数或引起讨论的因素较多时，注意分级讨论.