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第三章指数函数和对数函数§5对数函数5．3对数函数的图像和性质自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|1．掌握对数函数的图像和性质．2．能熟练地运用对数函数的图像和性质比较大小，解对数不等式．3．掌握数形结合，分类讨论及化归的思想方法.对数函数y＝logax(a0，a≠1)的图像特征和性质a10a1图像(1)定义域___________(2)值域__(3)当x＝1时，____，即过定点______(4)当x1时，____当0x1时，____(5)当x1时，____当0x1时，____性质(6)在(0，＋∞)上是________(7)在(0，＋∞)上是________(0，＋∞)Ry＝0(1，0)y0y0y0y0增函数减函数练一练：若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．解析：由题意知，1－2a1，解得a0.答案：(－∞，0)如何比较对数函数中底数的大小？答：由于对数函数y＝logax的图像与直线y＝1交于点(a，1)，所以对数函数y＝logax的图像在x轴上方，从左到右对应的底数由小到大依次递增．利用这一规律我们可以根据图像来确定底数的大小关系，同时这一规律还是我们用数形结合法来解决与对数函数有关的大小比较、方程、不等式、取值范围等问题的依据．典例精析规律总结2课堂互动探究比较下列各组数的大小．(1)log34，log35；(2)log0.35，log0.37；(3)log0.37，log97；(4)loga3.1，loga5.3.【解】(1)y＝log3x在R上是递增的．∴log34log35.(2)y＝log0.3x在R上是递减的．∴log0.35log0.37.(3)log0.37log0.31＝0，log97log91＝0，∴log0.37log97.(4)当a1时，loga3.1loga5.3；当0a1时，loga3.1loga5.3.【方法总结】比较两个对数式的大小，首先应看是否同底，如同底，考虑直接利用函数的单调性，如不同底，可考虑它们与0或1的关系，即以0或1为中介值进行比较．比较下列各组数的大小．(1)log2π与log20.9；(2)log20.3与log0.20.3；(3)log0.76，0.76与60.7.解：(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，π0.9，所以log2πlog20.9.(2)由于log20.3log21＝0，log0.20.3log0.21＝0，所以log20.3log0.20.3.(3)因为60.760＝1，00.760.70＝1，又log0.76log0.71＝0，所以60.70.76log0.76.已知函数y＝log12(x2－ax＋a)在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a的取值范围．【解】令g(x)＝x2－ax＋a，则g(x)在－∞，a2上是减函数．∵0121，∴y＝log12u是减函数，由已知复合函数y＝log12(x2－ax＋a)在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g(x)在区间(－∞，2)上单调递减，且g(x)0，∴有a2≥2，g（2）＝（2）2－a·2＋a≥0，解得22≤a≤22＋2，∴实数a的取值范围是[22，22＋2]．【方法总结】关键是把与对数函数有关的复合函数分解成两个初等函数，重点是求中间函数的单调性．要注意定义域对单调区间的影响．已知函数f(x)＝logax(a0且a≠1)．(1)若函数f(x)在[2，3]上的最大值与最小值的和为2，求a的值；(2)将函数f(x)图像上所有的点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数图像不经过第二象限，求a的取值范围．解：(1)因为函数f(x)＝logax在[2，3]上是单调函数，所以loga3＋loga2＝2.所以a＝6.(2)依题意，所得函数g(x)＝loga(x＋2)－1，由g(x)函数图像恒过(－1，－1)点，且不经过第二象限，可得a1，g（0）≤0，即a1，loga2－1≤0.解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞).若－1loga341，求a的取值范围．【解】由已知得：loga1aloga34logaa.当a1时，1a34a，解得a43；当0a1时，a341a，解得0a34.∴a的取值范围【方法总结】解对数不等式问题通常转化为一般不等式(组)求解．若含有字母，应考虑分类讨论，要遵循“定义域优先”原则，利用单调性转化．(2018·江苏卷)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________．解析：要使函数f(x)有意义，则x＞0且log2x－1≥0，解得x≥2，即函数f(x)的定义域为[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)函数y＝logax(a0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值．【错解】由题意知，loga4－loga2＝1，即loga42＝1，a＝2.【错因分析】错解中直接认为y＝logax在[2，4]上是增函数，应对a的取值分类讨论．【正解】当a1时，y＝logax在[2，4]上是增函数，∴loga4－loga2＝1，即loga42＝1，a＝2.当0a1时，y＝logax在[2，4]上是减函数，∴loga2－loga4＝1，即loga24＝1，a＝12.综上，a＝2或a＝12.即学即练稳操胜券3基础知识达标1．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则()A．a＋bab0B．aba＋b0C．a＋b0abD．ab0a＋b解析：∵a＝log0.20.3，b＝log20.3，∵log0.21log0.20.3log0.20.2，且log20.3log20.5，∴0a1，b－1，又∵1a＋1b＝a＋bab＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4log0.30.3＝1，∴aba＋b0，故选B．答案：B2．若a＝20.5，b＝log43，c＝log20.2，则()A．abcB．bacC．cabD．bca解析：∵a＝20.5＝2，b＝log43log44＝1，且b0，c＝log20.2log21＝0，∴abc.答案：A3．已知函数f(x)＝2log12x的值域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域是()A．22，2B．[－1，1]C．12，2D．－∞，－22∪[2，＋∞)解析：由题意知－1≤2log12x≤1，即－1≤－2log2x≤1.∴－12≤log2x≤12，即log222≤log2x≤log22，∴22≤x≤2.答案：A4．已知奇函数ƒ(x)，当x0时，ƒ(x)＝lgx，则不等式ƒ(x)0的解集是________．解析：利用图像作答，如图所示．由图像知不等式ƒ(x)0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．答案：(－∞，－1)∪(0，1)5．求函数f(x)＝(log0.25x)2－log0.25x2＋5，x∈[2，4]时的最值．解：设t＝log0.25x，y＝f(x)．由x∈[2，4]，得t∈－1，－12.又y＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4在－1，－12上单调递减，所以当t＝－1，即x＝4时，y有最大值8；当t＝－12时，即x＝2时，y有最小值254.