2019-2020学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 4 4.1 对数及其运算课件 北师大版必

第三章指数函数和对数函数§4对数4．1对数及其运算自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|1．理解对数的概念．2．掌握对数的基本性质．3．掌握对数式与指数式的互化.1．一般地，如果a(a0，a≠1)的b次幂等于N，即_____，那么___叫作以a为底N的对数，记作________．其中a叫作对数的______，N叫作______．logaN读作__________________．ab＝N数blogaN＝b底数真数以a为底N的对数练一练：若log3x＝3，则x＝()A．1B．3C．9D．27解析：由指数式与对数式的互化得33＝x，即x＝27.答案：D2．(1)通常将____________的对数叫作常用对数，N的常用对数log10N简记作_____．(2)以无理数____________为底的对数称为自然对数，N的自然对数logeN简记作_____．以10为底lgNe＝2.71828…lnN1．为什么对数符号logaN只有在a0，a≠1且N0时才有意义？答：①若a0，则N取某些数值时，logaN不存在，为此规定a不能小于0.②若a＝0，则N≠0时，logaN不存在；N＝0时，则logaN有无数个值，不能确定，因此，规定a≠0.③若a＝1，当N≠1时，则logaN不存在；当N＝1时，则logaN有无数个值，与函数定义不符因此，规定a≠1.④由于正数的任何次幂都是正数，因此N0.2．指数式与对数式有什么关系？答：指数式ab＝N(a0且a≠1)可以写成logaN＝b(a0且a≠1)，同时logaN＝b(a0且a≠1)可以写成ab＝N(a0且a≠1)．上述两式是a、b、N之间的同一关系式的两种等价表示形式，在指数式中，a为底数，b为指数，N为幂值；在对数式中，a为底数，b为对数，N为真数．指数式ab＝N，根式bN＝a和对数式logaN＝b(N0，a0，a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式；开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算．3．对数恒等式有哪些？答：logaa＝1，loga1＝0，alogaN＝N(a0且a≠1)．典例精析规律总结2课堂互动探究求式子log(x－1)(x＋2)中x的取值范围．【解】由题意得x＋20，x－10，x－1≠1，解得x1且x≠2.∴x的取值范围为{x|x1且x≠2}．【方法总结】解有关对数问题时，需保证对数的底数与真数同时有意义，得到不等式组求解．求式子log(x2＋1)(－3x＋8)中x的范围．解：因为底数x2＋11，所以x≠0；又因为－3x＋80，所以x83，综上可知x83且x≠0.即x的取值范围是x|x83且x≠0.将下列指数式与对数式进行互化．(1)3x＝181；(2)14x＝16；(3)25－12＝15；(4)log24＝4；(5)log100.001＝－3；(6)log(2－1)(2＋1)＝－1.【解】(1)log3181＝x；(2)log1416＝x；(3)log2515＝－12；(4)(2)4＝4；(5)10－3＝0.001；(6)(2－1)－1＝2＋1.【方法总结】利用指、对数关系式互相转化时，要注意各部分的对应位置．名称式子abN指数式ab＝N底数指数幂对数式logaN＝b底数对数真数完成以下指数式、对数式的互化．(1)26＝64；(2)10－3＝0.001；(3)log515＝－1；(4)log1216＝－4.解：(1)∵26＝64，∴log264＝6.(2)∵10－3＝0.001，∴log100.001＝－3.(3)∵log515＝－1，∴5－1＝15.(4)∵log1216＝－4，∴12－4＝16.求下列各式中的x.(1)log812＝x；(2)logx4＝2；(3)log4x＝12；(4)log(x＋3)(x2＋3x)＝1；(5)log2(log5x)＝0.【解】(1)由log812＝x，得8x＝12，即23x＝2－1，∴3x＝－1，即x＝－13.(2)由logx4＝2得x2＝4，∴x＝±2.又∵x0，且x≠1，∴x＝－2舍去，∴x＝2.(3)∵log4x＝12，∴412＝x，即x＝2.(4)∵log(x＋3)(x2＋3x)＝1，∴x＋3＝x2＋3x，解得x＝－3或x＝1.由x＋30，x2＋3x0，x＋3≠1，解得x0，∴x＝－3舍去，故x＝1.(5)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.【方法总结】(1)把对数式转化为指数式，利用幂的运算性质求未知数．(2)注意基本性质loga1＝0，logaa＝1.求下列各式中x的值：(1)ln(log2x)＝1；(2)x＝log(2＋3)(2－3)；(3)logx(1＋2)＝－1.解：(1)∵ln(log2x)＝1，∴e＝log2x，∴x＝2e.(2)∵x＝log(2＋3)(2－3)，∴(2＋3)x＝2－3＝(2＋3)－1，∴x＝－1.(3)∵logx(1＋2)＝－1，∴x－1＝1＋2＝(2－1)－1，∴x＝2－1.已知logx9＝2，求x的值．【错解】∵logx9＝2.∴x2＝9，x＝±3.【错因分析】错解中忽略了对数中底数必须大于0且不等于1这个条件．【正解】∵logx9＝2，∴x2＝9，x＝±3.又∵x＞0，且x≠1.∴x＝3.即学即练稳操胜券3基础知识达标1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．e0＝1与ln1＝0B．8－13＝12与log812＝－13C．log39＝2与912＝3D．log77＝1与71＝7答案：C2．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫作常用对数；④以e为底的对数叫作自然对数．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：C3．在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为()A．(－∞，3]B．(3,4)∪(4，＋∞)C．(4，＋∞)D．(3,4)答案：B4．已知f(lnx)＝x，则f(1)＝()A．eB．1C．e2D．0解析：令lnx＝1，则x＝e.∴f(1)＝e.答案：A5．(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；(2)已知10a＝2,10b＝3，求1002a－b的值．解：(1)∵m＝loga2，n＝loga3，∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22×3＝12.(2)∵10a＝2,10b＝3，∴1002a－b＝1002a100b＝10a410b2＝2432＝169.