2019-2020学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3 3.3 指数函数的图像和性质课件 北

第三章指数函数和对数函数§3指数函数3．3指数函数的图像和性质自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|能利用指数函数的单调性解不等式，求最值；掌握指数函数在实际生活中的简单应用.1．指数函数y＝ax与y＝bx(ab1)(1)当x0时，总有ax___bx___1.(2)当x＝0时，总有ax___bx___1.(3)当x0时，总有ax___bx___1.(4)指数函数的底数越大，当x0时，其函数值增长得就越快．＝＝2．函数y＝ax(a0且a≠1)(1)当a1时，在R上是___函数，当x逐渐增大时，函数值增大得越来越___．(2)当0a1时，在R上是___函数，当x逐渐减小时，函数值增大得越来越___．增快减快解与指数函数有关问题时应注意什么？答：(1)当底数a大小不能确定时，必须分“a1”和“0a1”两种情况讨论．(2)在解题中注意换元法的应用，尤其注意换元后新变量的取值范围，解与指数有关综合题时应结合图像．典例精析规律总结2课堂互动探究如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc【解析】由图像可知③、④的底数必大于1，①、②的底数必小于1.过点(1，0)作直线x＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知1dc，ba1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为ba1dc.故选B．【答案】B【方法总结】比较底数大小问题，通过令自变量值为1，得到底数，结合图像判断底数大小．数形结合是研究此类问题的常用方法．函数y＝a|x|(0a1)的图像是()答案：C如果a－5xax＋7(a0，且a≠1)，求x的取值范围．【解】①当a1时，∵a－5xax＋7，∴－5xx＋7，解得x－76.②当0a1时，∵a－5xax＋7，∴－5xx＋7，解得x－76.综上所述，x的取值范围是：当a1时，x－76；当0a1时，x－76.【方法总结】解指数不等式问题，需注意三点：①形如axay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论；②形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；③形如axbx的形式，利用图像求解．若将“a－5xax＋7(a0，且a≠1)”改为“(a2＋a＋2)－5x(a2＋a＋2)x＋7”，如何求解？解：∵a2＋a＋2＝a＋122＋741，∴y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数，∴－5xx＋7，即x－76，∴x的取值范围是x|x－76.已知函数y＝13x2－2x－3(x∈R)，确定其单调性及相应的单调区间，并求值域．【解】令t＝x2－2x－3，则y＝13t，y是关于t的减函数，t在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，则当x∈(－∞，1]时，t随x增大而减小，而y＝13t却随着t的增大而减小，故可得出y＝13x2－2x－3在(－∞，1]上是增函数，同理可得y＝13x2－3x－3在[1，＋∞)上为减函数．∴y＝13x2－2x－3的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．又∵t＝x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴y＝13t在t∈[－4，＋∞)上的值域是(0，81]．∴y＝13x2－2x－3的值域为(0，81]．【方法总结】对于复合函数y＝f[g(x)]，若f(t)为增函数，则y＝f[g(x)]单调性与g(x)相同；若f(t)为减函数，则y＝f[g(x)]单调性与g(x)相反，对于y＝f[g(x)]的值域求解实际上是以g(x)值域为y＝f(t)的定义域来求解．已知函数y＝3－x2+2x+1，求其定义域、值域及单调区间．解：设t＝－x2＋2x＋1＝－(x2－2x＋1)＋2＝－(x－1)2＋2≤2.则原函数定义域为R，值域为(0，9]．y＝3t在R上递增．t＝－(x－1)2＋2在(－∞，1]递增，在[1，＋∞)递减，∴y＝3－x2+2x+1递增区间为(－∞，1]，递减区间为[1，＋∞)．如果a2x＋1≤ax－5(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．【错解】由已知得2x＋1≤x－5，解得x≤－6.∴x的取值范围是(－∞，－6]．【错因分析】解关于x的不等式af(x)＞ag(x)(a＞0且a≠1)时，主要依据指数函数的单调性，对a是否大于1分类讨论，转化为f(x)＜g(x)或f(x)＞g(x)求解．上述解法未分类讨论．【正解】当0＜a＜1时，∵a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≥x－5，x≥－6.当a＞1时，∵a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≤x－5，x≤－6.综上，当0＜a＜1时，x的取值范围是[－6，＋∞)．当a＞1时，x的取值范围是(－∞，－6]．即学即练稳操胜券3基础知识达标1．函数y＝ax－1a(a0且a≠0)的图像可能是()解析：若a1，则01a1，则需将y＝ax向下平移1a个单位，可排除A、B；若0a1，则1a1，需将y＝ax向下平移1a个单位，可排除C，故选D．答案：D2．已知函数ƒ(x)＝a2－x(a0，a≠1)，当x2时，ƒ(x)1，则ƒ(x)在R上()A．是增函数B．是减函数C．当x2时是增函数，当x2时是减函数D．当x2时是减函数，当x2时是增函数解析：当x2时2－x0.又ƒ(x)1，即a2－x1，∴0a1.令t＝2－x，则t为减函数，又y＝at也是减函数，∴ƒ(x)＝a2－x是增函数．答案：A3．设a＝2313，b＝1323，c＝1313，则a，b，c的大小关系是()A．acbB．abcC．cabD．bca解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝23x和y＝13x的图像(图略)，由图像可知23131313，13231313，即acb.故选A．答案：A4．已知a＝35－13，b＝35－14，c＝32－34，则a，b，c的大小关系是()A．cabB．abcC．bacD．cba解析：∵y＝35x是减函数，又－13－14，∴35－1335－14，即ab.又032－341，而35－141，∴35－1432－34，即bc，∴abc.答案：D5．函数y＝a2x＋2ax－1(a0且a≠1)在区间[－1，1]上最大值是14，求a的值．解：令t＝ax，则t0，函数y＝a2x＋2ax－1可化为y＝(t＋1)2－2，其对称轴为t＝－1.当a1时，∵x∈[－1，1]，∴1a≤ax≤a，即1a≤t≤a.∴t＝a时，ymax＝(a＋1)2－2＝14.解得a＝3或a＝－5(舍去)；当0a1时，∵x∈[－1，1]，∴a≤ax≤1a，即a≤t≤1a，∴t＝1a时，ymax＝1a＋12－2＝14，解得a＝13或a＝－15(舍去)，∴a的值是3或13.