2019-2020学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 2 2.1 指数概念的扩充 2.2 指数

第三章指数函数和对数函数§2指数扩充及其运算性质2．1指数概念的扩充2．2指数运算的性质自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|1．在理解有理数指数幂的含义的基础上，通过具体实例了解实数指数幂的意义．2．掌握根式的概念，掌握分数指数幂与根式的互化．3．掌握幂的运算性质，感受数学推理的严谨性与合理性.1．给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得______，我们把b叫作a的mn次幂，记作____________．它就是分数指数幂．bn＝amb＝amn2．(1)我们可以把正分数指数幂写成根式形式，即amn＝_______(a0，m，n∈N＋，且n＞1)．(2)正分数的负分数指数幂意义与负整数指数幂意义相仿：a－mn＝__________(a0，m，n∈N＋且n1)．(3)0的正分数指数幂等于__．0的负分数指数幂没有意义．nam1amn0练一练：(1)5a－3化为分数指数幂为________．(2)a－23(a0)用根式表示为________．解析：(1)5a－3＝a－35.(2)a－23＝13a2.答案：(1)a－35(2)13a23．正数的实数指数幂的性质(1)am·an＝am＋n.(2)(am)n＝amn.(3)(ab)n＝anbn.指数幂的运算应注意哪些问题？答：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数，底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化为分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂运算性质．根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解，如（－2）6＝[(－2)6]12＝(26)12＝8.典例精析规律总结2课堂互动探究求值与化简：(1)aaa；(2)a2a·3a2(a0)；(3)33yx·3x2y.【解】(1)aaa＝aa·a12＝a·a32＝a·a34＝a74＝a78.(2)a2a·3a2＝a2a12·a23＝a2－12－23＝a56.(3)33yx·3x2y＝3yx13·3x2y12＝313＋12x－13＋1y13－12＝356x23y－16.【方法总结】在利用指数幂的运算法则对根式和分数指数幂进行化简求值时，应先将根式化为分数指数幂，如果所求的根式含有多重根号，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用分数指数幂的运算性质进行计算．对于运算的结果，不统一要求用什么形式表示；如果有特殊要求，可以根据要求给出结果．求下列各式的值：(1)481×923；(2)(325－125)÷45；(3)52·5535·1057.解：(1)原式＝[34×(343)12]14＝(34＋23)14＝3143×14＝376＝363.(2)原式＝(523－532)÷514＝523÷514－532÷514＝523－14－532－14＝5512－554＝1255－455＝1255－545.(3)原式＝52·535512·5710＝52＋35－12－710＝5525.化简：(1)0.027－13－－17－2＋27912－(2－1)0；(2)14－12·（4ab－1）30.1－2（a3b－3）12.【解】(1)原式＝271000－13－17－2＋25912－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝(2－2)－12·432·a32·b－32110－2·a32·b－32＝2·23102＝425.【方法总结】一般将根式化为分式，小数化为分数，利用幂的运算性质求解．(1)计算0.064－13－－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋0.0112；(2)计算(2－1)0＋169－12＋(8)－43.解：(1)原式＝(0.43)－13－1＋(－2)－4＋(24)－34＋0.1＝25－1－1＋116＋18＋110＝52－1＋316＋110＝32＋46160＝286160＝14380.(2)原式＝1＋432－12＋(232)－43＝1＋34＋14＝2.(1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值；(2)已知x＋y＝12，xy＝9，且xy，求x12－y12x12＋y12的值．【解】(1)令2x＝t，则2－x＝t－1，∴t＋t－1＝a.①由①两边平方，得t2＋t－2＝a2－2，∴8x＋8－x＝t3＋t－3＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)＝a(a2－2－1)＝a3－3a.(2)∵x12－y12x12＋y12＝（x12－y12）2（x12＋y12）（x12－y12）＝（x＋y）－2（xy）12x－y.①又∵x＋y＝12，xy＝9，②∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.∵xy，∴x－y＝－63.③将②③代入①式，得x12－y12x12＋y12＝12－2×912－63＝－33.【方法总结】对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底数幂的运算法则及乘法公式．对条件求值问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．设a2n＝3，a0，求a3n＋a－3nan＋a－n的值．解：由a2n＝3，a0得an＝3，a－n＝13，a3n＝(3)3＝33，a－3n＝133.∴a3n＋a－3nan＋a－n＝33＋1333＋13＝（33）2＋13×33＋3＝2812＝73.化简：(1－a)[(a－1)－2(－a)12]12.【错解】原式＝(1－a)·(a－1)－2×12·(－a)12×12＝(1－a)·(a－1)－1·(－a)14＝(1－a)·1a－1·(－a)14＝－(－a)14.【错因分析】未考虑指数幂的运算性质应满足的条件．【正解】由(－a)12有意义得，－a≥0，则a≤0.∴原式＝(1－a)[(a－1)－2]12[(－a)12]12＝(1－a)·(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14.即学即练稳操胜券3基础知识达标1．下列说法中正确的是()A．－2是16的四次方根B．正数的n次方根有两个C．a的n次方根就是naD．nan＝a解析：∵(－2)4＝16，∴－2是16的四次方根，∴A选项正确；∵正数的奇次方根只有一个，∴选项B错误；∵正数a的偶次方根有两个，∴选项C错误；∵当n为偶数，a0时，nan＝－a，∴选项D错误．答案：A2．下列根式、分数指数幂互化中，正确的是()A．－x＝(－x)12(x≠0)B．x－15＝－5xC．xy－56＝6yx5(x，y≠0)D．6y2＝y13(y0)答案：C3．当2－x有意义时，化简x2－4x＋4－x2－6x＋9的结果为()A．2x－5B．－2x－1C．－2x＋5D．－1解析：若2－x有意义，则2－x≥0，∴x≤2，∴x2－4x＋4－x2－6x＋9＝（x－2）2－（x－3）2＝|x－2|－|x－3|＝2－x＋x－3＝－1.答案：D4．若4a2－4a＋1＝3（1－2a）3，则实数a的取值范围是________．解析：∵4a2－4a＋1＝3（1－2a）3，∴|2a－1|＝1－2a，∴1－2a≥0，∴a≤12.答案：－∞，125．计算3（－2）3－130＋0.2512×－12－4.解：原式＝－2－1＋0.5×(－2)4＝－3＋0.5×4＝－3＋2＝－1.