2019-2020学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 1 正整数指数函数课件 北师大版必修1

第三章指数函数和对数函数§1正整数指数函数自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|1．掌握正整数指数幂的运算性质．2．理解正整数指数函数的定义．3．体会正整数指数函数在实际生活中的应用.1．正整数指数幂概念(1)n个a相乘的积可写成___，即＝an(n∈N＋)．(2)规定：a0＝__(a≠0)；a－n＝_______(a≠0且n∈N＋)．an11an2．正整数指数幂的运算性质(1)am·an＝_____．(2)(am)n＝____．(3)(ab)n＝anbn.(4)当a≠0时，有aman＝_____，当mn时，__，当m＝n时，________，当mn时.(5)abn＝anbn(b≠0)，其中m，n∈N＋.am＋namnam－n1a－（n－m）练一练：下列运算中计算结果正确的是()A．a4·a3＝a12B．a6÷a3＝a2C．(a3)2＝a5D．a3·b3＝(a·b)3解析：a4·a3＝a4＋3＝a7；a6÷a3＝a6－3＝a3；(a3)2＝a3×2＝a6；a3·b3＝(a·b)3.答案：D3．正整数指数函数一般地，函数____________________________叫作正整数指数函数，其中__是自变量，定义域是______________．y＝ax(a0，a≠1，x∈N＋)x正整数集N＋1．正整数指数幂运算应注意什么？答：正整数指数幂运算结果要统一，若出现负指数幂，一般化为正整数幂．解题中要注意运算性质的逆用．2．怎样理解正整数指数函数？答：正整数指数函数也是函数，主要存在于实际问题中，它也有定义域、值域，其图像是一些孤立的点．它的自变量位于指数位置，应与幂函数y＝xα区别开．函数形式方面：自变量x的系数是1，且ax系数也是1.典例精析规律总结2课堂互动探究已知x∈N＋，判断下列函数是否是正整数指数函数．(1)y＝x2；(2)y＝12x；(3)y＝(－3)x；(4)y＝－2x；(5)y＝4x＋1；(6)y＝xx；(7)y＝(3a－2)xa23且a≠1.【解】(1)不是，变量未在指数位置．(2)是．(3)不是，底数为负数，不符合定义．(4)不是，－2x系数为－1，不满足定义．(5)不是，指数形式上与定义不符．(6)不是，底数也为变量，定义要求底数为常量．(7)是，底数为大于0且不等于1的常量，满足定义．【方法总结】正整数指数函数y＝ax中，底数为大于0且不等于1的常量，指数为自变量x，且x∈N＋，ax前面系数必须是1.以上条件应同时满足．下列函数是正整数指数函数的是()A．y＝(1－2)x(x∈N＋)B．y＝2x2(x∈N＋)C．y＝(a－3)x(a3，且x∈N＋)D．y＝(3－1)x(x∈N＋)解析：选项A，1－20；选项B不符合y＝ax(a0且a≠1，x∈N＋)的形式；选项C，若a－3＝1，即a＝4时不符合定义；选项D，y＝(3－1)x(x∈N＋)，3－10且3－1≠1，x∈N＋，符合正整数指数函数的定义．答案：D(1)画出函数y＝13x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性；(2)画出函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．【解】x123…y＝13x1319127…y＝3x3927…(1)由图像知y＝13x在定义域是递减的．(2)由图像知y＝3x在定义域是递增的．【方法总结】画图前，可列表求出部分点的坐标，作图时注意选择合适的单位长度．画出y＝2x(x∈N＋)的图像，并说明它的单调性．解：x1234…y＝2x24816…由图像知y＝2x在定义域上是递增的．某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万(精确到1年)．(1.01210＝1.127，1.01215＝1.196，1.01216＝1.210)【解】(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)．2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)2×(1＋1.2%)＝100×(1＋1.2%)3.…x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N＋)．(2)10年后人口数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)．(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120，x≈16(年)．因此，大约16年以后该城市人口将达到120万．【方法总结】此类实际问题，一般先根据条件列出前几次变化变量间的关系式，并由此推广、总结规律，得到对应函数解析式．我们把形如y＝kax(k∈R，k≠0，a0且a≠1)的函数称为指数型函数．按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数关系式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？解：已知本金为a元．1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a(1＋r)；2期后的本利和为y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；3期后的本利和为y3＝a(1＋r)3；…x期后的本利和为yx＝a(1＋r)x.将a＝1000(元)，r＝2.25%，x＝5代入上式得y＝1000×(1＋2.25%)5＝1000×1.02255.由计算器得y＝1117.68(元)．故函数关系式为y＝a(1＋r)x，5期后的本利和为1117.68元．函数y＝(a2－4a＋4)ax是正整数指数函数，求实数a.【错解】由题意可知，a2－4a＋4＝1，∴a＝1或a＝3.【错因分析】正整数指数函数y＝ax中，ax的系数为1，底数a＞0，且a≠1.错解中未注意到底数不是1这个条件．【正解】由题意可知，a2－4a＋4＝1，a＞0且a≠1，即a＝1或a＝3，a＞0且a≠1，∴a＝3.即学即练稳操胜券3基础知识达标1．对于a0，b0，r、s∈N＋，以下运算正确的是()A．ar·as＝ar·sB．(ar)s＝ar＋sC．abr＝arbrD．ar·bs＝(ab)r＋s答案：C2．函数ƒ(x)＝3x－2中，x∈N＋且x∈[－1，3]，则ƒ(x)的值域为()A．{－1，1，7}B．{1，7，25}C．{－1，1，7，25}D．－53，－1，1，7，25解析：∵x∈N＋，x∈[－1，3]，∴x＝1或2或3，∴ƒ(1)＝3－2＝1，f(2)＝32－2＝7，f(3)＝33－2＝25，∴ƒ(x)的值域为{1，7，25}．答案：B3．函数f(x)＝ax(a0且a≠1)对于任意的实数x，y都有()A．f(xy)＝f(x)f(y)B．f(xy)＝f(x)＋f(y)C．f(x＋y)＝f(x)f(y)D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)答案：C4．已知函数ƒ(x)＝ax(a0，且a≠1，x∈N＋)的图像过点(5，32)，则ƒ(8)＝________．解析：∵ƒ(x)＝ax的图像过点(5，32)，∴a5＝32＝25，∴a＝2，∴f(x)＝2x，∴f(8)＝28＝256.答案：2565．抽气机每次抽出容器内空气的75%，要使容器内的空气少于原来的1%，则至少要抽取几次．解：设抽取x次后，容器内的空气为y，则y＝(1－0.75)x＝14x，x∈N＋.由题意得14x＜1%，∴4x＞100.∵43＝64＜100，44＝256＞100，∴当x≥4时，4x＞100.故至少要抽取4次．