2019-2020学年高中数学 第三章 直线与方程章末总结课件 新人教A版必修2

章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)1.直线的倾斜角是指直线与x轴所成的锐角或直角.()×2.直线的点斜式方程可以表示与坐标轴平行的直线.()3.直线的截距式方程不能表示过原点的直线.()4.若直线l1与直线l2的斜率相等,则l1∥l2.()5.若直线l1与直线l2垂直,则它们的斜率之积等于-1或一条直线斜率为0另一条直线斜率不存在.()×√×√6.点A(x1,y1)与点B(x2,y2)的距离是|AB|=221212xxyy.()√7.直线的一般式方程可以表示任何一条直线.()√8.若一条直线的斜率为tanα,则其倾斜角必为α.()9.经过定点A(1,2)的直线可用方程y=k(x-1)+2表示.()××10.不过原点的直线都可以用方程xa+yb=1表示.()×11.若两条直线垂直,则它们斜率之积一定等于-1.()×题型探究真题赏析题型探究·素养提升题型一直线的倾斜角与斜率[典例1]直线l1,l2,l3都经过点P(3,2),又l1,l2,l3分别经过点Q1(-2,-1),Q2(4,-2),Q3(-3,2),计算直线l1,l2,l3的斜率,并判断这些直线的倾斜角是0°、锐角还是钝角.解:由于Q1,Q2,Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等,所以设k1,k2,k3分别表示直线l1,l2,l3的斜率,则k1=1223=35,k2=2243=-4,k3=2233=0.由k10知,直线l1的倾斜角是锐角;由k20知,直线l2的倾斜角是钝角;由k3=0知,直线l3的倾斜角是0°.规律方法直线倾斜角和斜率及其关系(1)倾斜角α的范围是0°≤α180°.(2)倾斜角α与斜率k的对应关系①α≠90°时,k=tanα;②α=90°时,k不存在.(3)倾斜角与斜率的单调性问题当直线l的倾斜角为α∈[0°,90°)时,直线l的斜率将随着角度的增大而增大;当直线l的倾斜角α∈(90°,180°)时,直线l的斜率将随着倾斜角的增大而减小.(4)斜率公式:经过A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式k=2121yyxx(x1≠x2),应用时注意其适用的条件x1≠x2,当x1=x2时,直线的斜率不存在.题型二直线的方程[典例2]已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l′的方程,(1)过点(-1,3),且与l平行;(2)过点(-1,3),且与l垂直.解:法一由题设l的方程可化为y=-34x+3,所以l的斜率为-34.(1)由l′与l平行,所以l′的斜率为-34.又因为l′过(-1,3),由点斜式知方程为y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0.(2)由l′与l垂直,所以l′的斜率为43,又过(-1,3),由点斜式可得方程为y-3=43(x+1),即4x-3y+13=0.法二(1)由l′与l平行,可设l′方程为3x+4y+m=0.将点(-1,3)代入上式得m=-9.所以所求直线方程为3x+4y-9=0.(2)由l′与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.所以所求直线方程为4x-3y+13=0.规律方法一般地,直线Ax+By+C=0中系数A,B确定直线的斜率,因此,与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C),与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0.这是经常采用的解题技巧.题型三两条直线的位置关系[典例3](2018·九江高一期末)已知直线l1:x-my-3=0,l2:(m-4)x+3y+m=0(m∈R).(1)若l1⊥l2,求l1与l2交点的坐标;解:(1)因为l1⊥l2,所以(m-4)+(-m)×3=0,解得m=-2.可得两条直线方程分别为x+2y-3=0,6x-3y+2=0,联立解得x=13,y=43.可得l1与l2的交点为(13,43).解:(2)由-m(m-4)-3=0,化为m2-4m+3=0,解得m=1或3.经过验证m=3时两条直线重合,所以m=1.两条直线方程分别化为x-y-3=0,x-y-13=0.则l1与l2之间的距离d=1332=423.(2)若l1∥l2,求l1与l2之间的距离.规律方法(1)根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法①判定斜率是否存在,若存在,化成斜截式后,则k1=k2且b1≠b2;若都不存在,则还要判定不重合.②可直接采用如下方法:一般地,设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论,可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.(2)根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法①若一个斜率为零,另一个不存在,则垂直;若两个都存在斜率,化成斜截式后,则k1k2=-1.②一般地,设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.第二种方法可避免讨论,减小失误.题型四距离问题[典例4]已知直线mx+y-3m-1=0恒过定点A.(1)若直线l经过点A且与直线2x+y-5=0垂直,求直线l的方程;解:(1)因为直线mx+y-3m-1=0恒过定点A,所以(x-3)m+y-1=0,由30,10,xy得A(3,1),设与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为x-2y+a=0,把A(3,1)代入,得3-2+a=0,解得a=-1,所以直线l的方程为x-2y-1=0.(2)若直线l经过点A且坐标原点到直线l的距离等于3,求直线l的方程.解:(2)直线l经过点A且坐标原点到直线l的距离等于3,当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,成立;当直线l的斜率k存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,原点O(0,0)到直线l的距离d=2311kk=3,解得k=-43,直线l的方程为y-1=-43(x-3),即4x+3y-15=0.综上,直线l的方程为x=3或4x+3y-15=0.规律方法(1)求点到直线的距离时,若给出的直线方程不是一般式,只需把直线方程化为一般式方程,直接应用点到直线的距离公式求解即可.(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点(x0,y0)到它们的距离时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接写成d=|x0-a|或d=|y0-b|.(3)若已知点到直线的距离求参数或直线方程时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解.题型五对称问题[典例5](2018·福州一中月考)已知直线l:3x-y+3=0,求:(1)点P(4,5)关于l的对称点;解:(1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P′(x′,y′).因为kPP′·kl=-1,即yyxx×3=-1,①又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,所以3×2xx-2yy+3=0.②由①②得43953435xyxxyy③④把x=4,y=5代入③及④得x′=-2,y′=7,所以P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(-2,7).(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.解:(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l的对称直线方程为4395xy-3435xy-2=0,化简得7x+y+22=0.规律方法(1)求对称直线的方程,可以转化为点对称问题解决或者用相关点转移法解决.(2)点关于直线对称把握两点:一是对称点连线与对称轴垂直,二是对称点中点在对称轴上.题型六易错辨析[典例6]已知直线l1:2x+y-6=0和点A(1,-1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|=5,求直线l的方程.错解:设其方程为y+1=k(x-1).解方程组260,11,xyykx得交点B(72kk,422kk)(k≠-2).由已知227421122kkkk=5,解得k=-34.所以y+1=-34(x-1),即3x+4y+1=0.所求直线l的方程为3x+4y+1=0.纠错:本题中直线l斜率不确定,应分存在与不存在两种情况讨论.本题忽略了斜率不存在的情况.遇到此类问题可以借助图形先判断直线的条数,若所求直线有两条而结果只有一条,则另一条直线的斜率不存在.正解:若l与x轴垂直,则l的方程为x=1,由1,260,xxy得B点坐标(1,4),此时|AB|=5,所以x=1为所求;当l不与x轴垂直时,可设其方程为y+1=k(x-1).解方程组260,11,xyykx得交点B(72kk,422kk)(k≠-2).由已知227421122kkkk=5,解得k=-34.所以y+1=-34(x-1),即3x+4y+1=0.综上可得,所求直线l的方程为x=1或3x+4y+1=0.真题赏析·素养升级1.(2013·湖南卷)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于()D(A)2(B)1(C)83(D)43解析:以AB,AC所在直线分别为x轴、y轴,A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(0,4),得△ABC的重心D(43,43),设AP=x,P(x,0),x∈(0,4),由光的反射定理,知点P关于直线BC、AC的对称点P1(4,4-x),P2(-x,0),与△ABC的重心D(43,43)共线,所以4343x=443443x,求得x=43,AP=43.故选D.2.(2016·上海卷)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离为.解析:平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离为221121=255.答案:255解析:设平面上任一点M,因为|MA|+|MC|≥|AC|,当且仅当M在线段AC上时取等号,同理|MB|+|MD|≥|BD|,当且仅当M在线段BD上时取等号,连接AC,BD交于一点M,则|MA|+|MC|+|MB|+|MD|最小,点M为所求.由A,C的坐标可得直线AC的方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.由B,D的坐标可得直线BD的方程为y-5=-(x-1),即x+y-6=0.解20,60,xyxy得2,4,xy即M(2,4).3.(2013·四川卷)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是.答案:(2,4)