2019-2020学年高中数学 第三章 直线与方程章末归纳整合课件 新人教A版必修2

章末归纳整合分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决．在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决．在本章中涉及分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题．分类讨论思想【例1】设直线l：(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．【分析】解题时注意对直线是否过原点进行分情况讨论，否则会漏解．【解析】当2－a＝0，即a＝2时，直线经过原点，满足条件，此时直线的方程为3x＋y＝0.当a＝－1时，直线在x轴上无截距，不符合题意．当a≠－1且a≠2时，由题意得a－2a＋1＝a－2，解得a＝0.此时直线的方程为x＋y＋2＝0.综上，直线l方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.【变式训练1】直线l经过点P(2,3)且在x，y轴上的截距互为相反数，试求该直线的方程．【解析】当截距都为0时，直线过原点，此时k＝32，所以直线方程为y＝32x.当截距都不为0时，根据题意，设所求直线的方程为xa＋y－a＝1.∵直线过点P(2,3)，∴2a＋3－a＝1，得a＝－1.∴直线方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线方程为x－y＋1＝0或y＝32x.数形结合的思想是一种重要的思想方法，数形结合的应用大致分为两类：第一类“以数解形”——就是有些图形太过于复杂或过于简单，直接观察不易求解，这时需要给图形赋值；第二类“以形助数”——借助图形的直观性阐明数之间的关系．数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决．数形结合思想的应用【例2】已知直线l过点P(1,1)且与以A(－1,0)，B(3，－4)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．【分析】利用数形结合思想，观察直线的变化情况，根据斜率公式及范围求解，要特别注意当直线与x轴垂直时的情形．【解析】如图所示，直线PA的斜率kPA＝1－01－－1＝12，直线PB的斜率kPB＝1－－41－3＝－52.当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是12，＋∞，当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围是－∞，－52.∴直线l的斜率的取值范围是－∞，－52∪12，＋∞.【点评】借助数形结合思想既可以定性地分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量地求解倾斜角与斜率的取值范围，此外在特殊位置处应利用分类讨论的思想方法．【变式训练2】当a≥0时，方程x＋a＝a|x|有两解，则a的取值范围是()A．a0B．a1C．0a1D．0a1或a1【答案】B【解析】令y＝x＋a，y＝a|x|，则直线y＝x＋a是斜率为1，纵截距为a的直线．曲线y＝a|x|，当x≥0时，y＝ax是一条斜率为a的射线；当x0时，y＝－ax是一条斜率为－a的射线．显然，当a1时，y＝x＋a与y＝ax(x≥0)，y＝－ax(x0)都相交，即直线y＝x＋a与y＝a|x|有两个交点．如图①.当0a≤1时，y＝x＋a与射线y＝－ax(x0)相交于一点，而与射线y＝ax(x≥0)不相交，故直线y＝x＋a与曲线y＝a|x|只有一个交点，如图②.当a＝0时，直线y＝x与直线y＝0相交于原点，只有一个交点．综上，满足题意的a的取值范围是a1.故选B.在解析几何中求解最值时，经常通过对代数进行适当的变形，使得所求的代数式转化为距离的公式的形式，进而利用距离公式求解最值，这样的解题策略便是转化思想的应用．转化思想的应用【分析】本题考查数形结合的思想方法，不难发现，经过配方，可以把函数的右边看成是一个动点到两个定点的距离之和，再利用对称知识求出函数的最小值．【例3】求函数y＝x2－2x＋2＋x2－6x＋13的最小值．【解析】y＝x2－2x＋2＋x2－6x＋13＝x－12＋0－12＋x－32＋0－22，∴y表示x轴上的点P(x,0)到A(1,1)，B(3,2)两点的距离之和．如图，点B关于x轴的对称点B′(3，－2)，∴|BP|＝|B′P|.∵两点之间线段最短，∴y的最小值为|AB′|＝3－12＋－2－12＝13.【点评】本题若直接求解，会比较繁琐，因此把问题转化为两点的距离问题，体现了从“数”到“形”的转化．【变式训练3】已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围．【解析】由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)则|PQ|＝a＋22＋b＋22，于是问题转化为|PQ|的最大、最小值．如图所示，当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值－2－12＋－2－02＝13.当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离．由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.则Q点到直线AB的距离d＝|－2＋－2－1|12＋12＝52＝522.∴252≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.高考中单独考查的较少，常与其他知识结合起来考查，主要以选择、填空题的形式考查直线方程的求法，以及由直线方程研究两直线的位置关系，在解答题中常与其他曲线结合考查直线与曲线的位置关系.掌握直线方程的各种形式及转化关系，能根据直线方程求斜率、截距，并会判断两直线的平行、垂直关系.1．(2019年江苏常州模拟)设直线5x＋3y－15＝0在x轴上截距为a，在y轴上截距为b，则()A．a＝5，b＝3B．a＝3，b＝5C．a＝－3，b＝5D．a＝－3，b＝－5【答案】B【解析】对于直线5x＋3y－15＝0，令y＝0，解得x＝3，即a＝3；令x＝0，解得y＝5，即b＝5.故选B．2．(2019年辽宁大连模拟)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是()A．2x－3y＋5＝0B．2x－3y＋8＝0C．3x＋2y－1＝0D．3x＋2y＋7＝0【答案】C【解析】由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，可设直线l的方程为3x＋2y＋C＝0.又直线l过点(－1,2)，所以－3＋4＋C＝0，解得C＝－1，即直线l的方程为3x＋2y－1＝0.故选C．【答案】A【解析】由两直线平行，可得(1＋m)m＝1×2，解得m＝－2或1.当m＝－2时，两直线为x－y－2＝0和－2x＋2y＋4＝0，两直线重合，不合题意；当m＝1时，两直线为x＋2y－2＝0和x＋2y＋4＝0，两直线平行，符合题意．故选A．3．(2019年陕西宝鸡模拟)若直线x＋(1＋m)y－2＝0和直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值为()A．1B．－2C．1或－2D．－234．(2019年四川成都模拟)若三条直线x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，mx＋ny－5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A．5B．6C．23D．25【答案】A【解析】由x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，解得x＝1，y＝2，则点(1,2)在直线mx＋ny－5＝0上，所以m＋2n－5＝0.所以点(m，n)在直线x＋2y－5＝0上．所以点(m，n)到原点的距离的最小值等于原点到直线x＋2y－5＝0的距离，即为|0＋0－5|12＋22＝5.故选A．5．(2016年上海)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1，l2的距离为________．【答案】255【解析】由平行直线的距离公式可得d＝|－1－1|22＋12＝255.