2019-2020学年高中数学 第三章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式（第一课时）两条

第一课时两条直线的交点坐标、两点间的距离3.3直线的交点坐标与距离公式一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P102～P106，回答下列问题：(1)直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？提示：直线l上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．(2)由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？提示：①若方程组无解，则l1∥l2；②若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；③若方程组有无数解，则l1与l2重合．提示：①当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝|x2－x1|；②当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝|y2－y1|；③当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.(3)已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|?二、归纳总结·核心必记1．两条直线的交点坐标(1)求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．(2)应用：可以利用两条直线的判断两条直线的位置关系．交点个数方程组一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数_____________个___个直线l1和l2的位置关系相交重合平行一般地，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：一个无数零A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解2.两点间的距离公式两点坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)距离公式|P1P2|＝特例若O(0,0)，P(x，y)，则|OP|＝x2－x12＋y2－y12x2＋y2三、综合迁移·深化思维两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22的形式？提示：可以，原因是x2－x12＋y2－y12＝x1－x22＋y1－y22，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．探究点一两条直线交点的坐标[思考探究]观察图形，思考下列问题：(1)在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？提示：两直线的公共部分，即交点．(2)如何求上述两直线的交点坐标？提示：将两直线方程联立，求方程组的解即可．(3)两条直线相交的条件是什么？名师指津：两直线相交的条件：①将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或A1A2≠B1B2(A2，B2≠0)．③若两直线斜率都存在，设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.[典例精析]求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．(链接教材P103－例2)[解]法一：由方程组3x＋4y－2＝0，2x＋y＋2＝0，解得x＝－2，y＝2，即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝2－2＝－1.故直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0.法二：∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.[类题通法](1)两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在．(2)过两条直线交点的直线方程的求法①常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．②特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．[针对训练]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.解：(1)解方程组2x＋y＋3＝0，x－2y－1＝0，得x＝－1，y＝－1，所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组x＋y＋2＝0，①2x＋2y＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.2．求经过直线l1：x＋3y－3＝0，l2：x－y＋1＝0的交点且平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程．解：法一：由x＋3y－3＝0，x－y＋1＝0，得x＝0，y＝1，∴直线l1与l2的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程为2x＋y＋c＝0，把(0,1)代入所求的直线方程，得c＝－1，故所求的直线方程为2x＋y－1＝0.法二：设过直线l1、l2交点的直线方程为x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0(λ∈R)，即(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0，由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53，所以所求直线方程为83x＋43y－43＝0，即2x＋y－1＝0.探究点二两点间的距离公式[思考探究]观察下面图形：图1图2(1)如何求图1中A、B两点间的距离？提示：|AB|＝|xA－xB|.(2)图2中能否用数轴上两点A，B间距离求出任意两点间距离？提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解．名师指津：对两点间距离公式的理解：①公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22，利用此公式可以将几何问题代数化．②当直线P1P2平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下列方法：法一：直线P1P2平行于x轴时|P1P2|＝|x2－x1|；法二：直线P1P2平行于y轴时|P1P2|＝|y2－y1|.(3)怎样理解两点间的距离公式？[典例精析]已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，试判断△ABC的形状．[解]法一：∵|AB|＝3＋32＋－3－12＝213，|AC|＝1＋32＋7－12＝213，又|BC|＝1－32＋7＋32＝226，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：∵kAC＝7－11－－3＝32，kAB＝－3－13－－3＝－23，则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝1＋32＋7－12＝213，|AB|＝3＋32＋－3－12＝213，∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．[类题通法]1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题还要注意构成三角形的条件．[针对训练]3．(1)已知点A(－3,4)，B(2，3)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；(2)已知点M(x，－4)与点N(2,3)间的距离为72，求x的值．解：(1)设点P的坐标为(x,0)，则有|PA|＝x＋32＋0－42＝x2＋6x＋25，|PB|＝x－22＋0－32＝x2－4x＋7.由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－95.故所求点P的坐标为－95，0.|PA|＝－95＋32＋0－42＝21095.(2)由|MN|＝72，得|MN|＝x－22＋－4－32＝72，即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.故所求x的值为9或－5.探究点三对称问题[典例精析]如图，一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．[思路点拨]先求出原点关于l的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程．[解]设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得ba·－43＝－1，8×a2＋6×b2＝25，解得a＝4，b＝3，∴A的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等．故反射光线所在直线方程为y＝3.由方程组y＝3，8x＋6y＝25，解得x＝78，y＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3x≤78.由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.[类题通法]光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．(1)点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)，可由方程组y－y0x－x0·－AB＝－1AB≠0，A·x＋x02＋B·y＋y02＋C＝0求得．(2)常用对称的特例有：①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)；⑥Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a,2n－b)．[针对训练]4．若点P(m,0)到点A(－3,2)及B(2,8)的距离之和最小，求实数m的值．解：点A(－3,2)关于x轴的对称点为A′(－3，－2)．因为点P(m,0)在x轴上，由对称性可知|PA|＝|PA′|，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，所以当A′，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|最小．因为kA′B＝8＋22＋3＝2，所以直线A′B的方程为y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.令y＝0，得x＝－2，即A′，P，B三点共线时，点P的坐标为(－2,0)，所以所求实数m的值为－2.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系，会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标，掌握两点间距离公式并能灵活应用．难点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握两条直线相交的判定方法，掌握过两条直线交点的直线方程的求法，见探究点一．(2)计算两点间距离的方法，见探究点二．(3)点关于直线对称问题的解决方法，见探究点三．3．本节课的易错点是点关于直线对称问题及求两直线交点坐标计算错误，如探究点一，三．