2019-2020学年高中数学 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程课件 新人教A版必修

3.2.3直线的一般式方程目标导航课标要求1.了解二元一次方程与直线的对应关系.2.掌握直线方程的一般式.3.能根据所给条件求直线方程,并能在几种形式间相互转化.素养达成通过对直线方程的一般式的学习,培养学生归纳、概括能力,渗透分类讨论、化归、数形结合的思想.直线的一般式方程1.定义:关于x,y的二元一次方程(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.新知导学·素养养成Ax+By+C=02.斜率:直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0),当B≠0时,其斜率是-AB,在y轴上的截距是-CB.当B=0时,这条直线垂直于x轴,不存在斜率.思考1:当A=0或B=0或C=0时,方程Ax+By+C=0分别表示什么样的直线?答案:①若A=0,则y=-CB,表示与y轴垂直的一条直线.②若B=0,则x=-CA,表示与x轴垂直的一条直线.③若C=0,则Ax+By=0,表示过原点的一条直线.思考2:在什么条件下,一般式方程可以转化为斜截式、点斜式或截距式方程?答案:①若B≠0,则直线的一般式方程可化为斜截式、点斜式,即y=-ABx-CB与y-CB=-AB(x-0).②若A≠0且B≠0,则可化为截距式,即xCA+yCB=1.名师点津1.二元一次方程与直线的关系:二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标.这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线.二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的.2.解题时,若无特殊说明,应把求得的直线方程化为一般式.课堂探究·素养提升题型一直线的一般式方程[例1]已知直线l经过点A(-5,6)和点B(-4,8),求直线l的一般式方程和截距式方程,并画出图形.解:因为直线l经过点A(-5,6),B(-4,8),所以由两点式,得686y=545x,整理得2x-y+16=0,化为截距式得8x+16y=1,所以直线l的一般式方程为2x-y+16=0,截距式方程为8x+16y=1.图形如图所示方法技巧求出直线方程后一般都要把直线方程化为一般式形式.求直线方程的一般规律:(1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式;(2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用斜截式;(3)已知直线上两点坐标时,选用两点式;(4)已知直线在x轴,y轴上的截距时,选用截距式.解析:设点A(x,0),B(0,y),由中点坐标公式得:02,203.2xy解得:x=-4,y=6,由直线l过点A(-4,0),B(0,6),所以直线l的方程为:4x+6y=1,即3x-2y+12=0.即时训练1-1:(2018·铜山市高一期中)直线l过点P(-2,3)且与x轴、y轴分别交于A,B两点,若P恰为线段AB的中点,则直线l的方程为.答案:3x-2y+12=0解析:直线x+2y+3=0的斜率为-12,直线l与直线x+2y+3=0垂直,可得直线l的斜率为2,又直线l过点A(2,2),可得直线l的方程为y-2=2(x-2),即为2x-y-2=0.即时训练1-2:(2018·江苏江阴市高一期中)直线l过点A(2,2),且与直线x+2y+3=0垂直,则直线l的方程为.答案:2x-y-2=0[备用例1]根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式:(1)斜率是-12,经过点A(8,-2);(2)经过点B(4,2),平行于x轴.解:(1)由点斜式y-y0=k(x-x0)得:y-(-2)=-12(x-8);化简得x+2y-4=0.(2)由于平行于x轴,所以斜率等于0.由点斜式y-y0=k(x-x0)得:y-2=0(x-4),化简得y-2=0.题型二利用直线一般式方程解决平行、垂直问题[例2](12分)已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0,求满足下列条件的a的值:(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.规范解答:由题意可知A1=a,B1=3,C1=1;A2=1,B2=a-2,C2=a.(1)当l1∥l2时,122112212130,3210,ABABaaBCBCaa………………………2分即2230,220,aaa…………………………………………………………4分解得a=3.所以,当a=3时,l1∥l2.…………………………………………6分(2)当l1⊥l2时,A1A2+B1B2=a×1+3×(a-2)=0,………………………8分即4a-6=0,解得a=32.………………………………………………10分所以,当a=32时,l1⊥l2.……………………………………………12分解:当a≠2时,直线l2的方程可转化为y=-12ax-2aa.由于直线l2不过第四象限,则10,20,2aaa解得0≤a2,当a=2时,直线l2的方程为x=-2,不过第四象限,符合题意.综上所述,a的取值范围是[0,2].一题多变:本例中的直线l2,当a取何值时,直线l2不过第四象限?方法技巧(2)一般地,与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0(m≠C),垂直的直线可设为Bx-Ay+n=0.(1)对于由直线的位置关系求参数的问题,有下列结论:设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则l1∥l2⇔1221122112210,00.ABABBCBCACAC或l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0;(2)由-34m×(-25m)=-1,解得m=-133.即时训练2-1:(2018·吉昌市高一期末)已知两条直线l1:(3+m)x+4y+3m-5=0,l2:2x+(5+m)y-8=0.求:m为何值时,l1与l2(1)平行;(2)垂直.解:(1)由(3+m)(5+m)-8=0,解得m=-1或-7.经过验证可得:m=-1时,两条直线重合,舍去.所以m=-7.解:(1)两直线平行,可得2210,258810.mmmm解得m=-3.[备用例2]1.已知直线l1:2x+y+8=0,l2:(m+1)x+(m+2)y-5m-8=0,m∈R.(1)若两直线平行,求实数m的值;解:(2)l1与x轴交于点A(-4,0),由l2的方程化为:m(x+y-5)+(x+2y-8)=0,令280,50xyxy,解得2,3,xy可得B(2,3).所以AB的中点为(-1,32),kAB=36=12,可得其中垂线的斜率为-2.所以AB的中垂线方程为y-32=-2(x+1),即4x+2y+1=0.(2)设l1与x轴交于点A,l2经过定点B,求线段AB的垂直平分线的一般式方程.(2)设B(a,b),则线段AB的中点为(32a,2b).可得32410,222,3abba所以2,2.ab所以B(2,-2).2.(2018·宜春市高安中学高一期末)已知直线l1:2x+4y-1=0和点A(3,0),设过点A且与l1平行的直线为l2.(1)求直线l2的方程;(2)求点A(3,0)关于直线l1的对称点B.解:(1)设l2:2x+4y+m=0,把A点代入得2×3+0+m=0,解得m=-6.所以l2:x+2y-3=0.(1)证明:将直线l的方程整理为y-35=a(x-15),所以l过定点A(15,35),而点A(15,35)在第一象限,故不论a为何值,直线l恒过第一象限.题型三直线的一般式方程的应用[例3]已知直线l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;(2)解:将方程化为斜截式方程:y=ax-35a.要使l经过第一、第三、第四象限,则0,30.5aa即a3.(2)为使直线经过第一、第三、第四象限,求a的取值范围.方法技巧(1)已知直线的方程可以确定其斜率、截距,从而可解决与斜率、截距有关的问题.(2)已知直线的大致位置,可确定斜率、截距的范围(或符号),从而可建立不等式求解参数范围,反之若已知斜率、截距的范围(或符号)也可以确定直线的大致位置.解:(1)设点A(2,3)关于直线l的对称点为A0(x0,y0),则000031,22310.22yxxy解得x0=-4,y0=-3,即点A(2,3)关于直线l的对称点为A0(-4,-3).即时训练3-1:(2018·宜昌市协同合作体高一期末)光线通过点A(2,3),在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1).(1)求点A(2,3)关于直线l对称点的坐标;解:(2)由于反射光线所在直线经过点A0(-4,-3)和B(1,1),所以反射光线所在直线的方程为y-1=45(x-1),即4x-5y+1=0.(2)求反射光线所在直线的一般式方程.课堂达标1.下列四个结论中正确的是()(A)经过定点P1(x1,y1)的直线都可以用方程y-y1=k(x-x1)表示(B)经过任意不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示(C)不过原点的直线都可以用方程xa+yb=1表示(D)经过点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示B解析:考虑到直线的点斜式方程、斜截式方程、截距式方程的适用条件,可知A,C,D都不正确;当直线的两点式方程121yyyy=121xxxx化为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)时,它就可以表示过任意不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的所有直线,故B正确.2.(2018·福建南安一中高一检测)直线x-y+2=0的倾斜角是()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°B解析:由x-y+2=0,得y=x+2.其斜率为1,倾斜角为45°.解析:由题意可设所求直线方程为x-2y+m=0,将点A(-1,3)代入,可得m=7,所以所求直线的方程为x-2y+7=0.3.过点A(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为.答案:x-2y+7=04.若直线mx+3y-5=0经过连接点A(-1,-2),B(3,4)的线段的中点,则m=.解析:线段AB的中点为(1,1),则m+3-5=0,即m=2.答案:2