2019-2020学年高中数学 第三章 直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程课件 新人教A版必修

3.2.2直线的两点式方程目标导航课标要求1.了解直线方程的两点式的推导过程.2.会利用两点式求直线的方程.3.掌握直线方程的截距式,并会应用.素养达成通过对直线两点式方程和截距式方程的学习,进一步培养学生的数形结合、抽象概括能力.1.直线的两点式与截距式方程新知导学·素养养成两点式截距式条件P1(x1,y1)和P2(x2,y2)其中x1≠x2,y1≠y2在x轴上截距a,在y轴上截距b图形2.线段P1P2的中点坐标公式若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则方程适用范围不表示坐标轴的直线不表示坐标轴的直线及过的直线121yyyy=121xxxxxa+yb=1垂直于垂直于原点,.xy122xx122yy名师点津(1)截距式方程中间以“+”相连,右边是1.(2)a叫做直线在x轴上的截距,a∈R,且a≠0,但不一定有a0.(3)b叫做直线在y轴上的截距,b∈R,且b≠0,但不一定有b0.课堂探究·素养提升题型一直线的两点式方程[例1]已知△ABC三个顶点坐标A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三条边所在的直线方程.解:因为A(2,-1),B(2,2),A,B两点横坐标相同,直线AB与x轴垂直,故其方程为x=2.因为A(2,-1),C(4,1),由直线方程的两点式可得AC的方程为111y=424x,即x-y-3=0.同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为212y=242x,即x+2y-6=0.所以三边AB,AC,BC所在的直线方程分别为x=2,x-y-3=0,x+2y-6=0.一题多变1:本例中条件不变,求BC边上中线所在直线的方程.解:设BC中点为M(x0,y0),则00243,2123,22xy即M(3,32),所以BC边上的中线AM的方程为1312y=232x,整理得y=52x-6,所以BC边上的中线所在直线方程为y=52x-6.解:设AB中点为N(x′,y′),则222,2211,22xy即N(2,12),同理得BC中点M(3,32),所以中位线MN的直线方程为123122y=232x.整理得y=x-32,所以与AC平行的中位线MN所在直线方程为y=x-32.一题多变2:本例中条件不变,求与AC边平行的中位线所在直线的方程.方法技巧求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系.解:因为点A(3,2)关于x轴的对称点为A′(3,-2),所以可得直线A′B的方程为626y=131x,即2x+y-4=0.同理,点B(-1,6)关于x轴的对称点为B′(-1,-6),由两点式可得直线AB′的方程为262y=313x,即2x-y-4=0,所以入射光线所在直线的方程为2x-y-4=0,反射光线所在直线的方程为2x+y-4=0.[备用例1]一条直线从点A(3,2)出发,经x轴反射后,通过点B(-1,6),求入射光线和反射光线所在的直线方程.题型二直线的截距式方程[例2](12分)已知直线l经过点P(4,3),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.规范解答:当直线l过原点时,它在两坐标轴上的截距都是0.…………2分设直线方程为y=kx,因为过点P(4,3).所以3=4k,故k=34.…………………………………………………………4分所以直线方程为y=34x.……………………………………………………6分当直线l不过原点时,设直线的截距式方程为xa+ya=1(a≠0),………8分又因为直线过点P(4,3),所以4a+3a=1,所以a=7.………………10分所以直线方程为7x+7y=1,即x+y=7.综上,直线l的方程为x+y=7或y=34x.…………………………12分解:设直线l的斜率为k,则有y-3=k(x-4),令x=0,得y=3-4k,令y=0,得x=4-3k.由直线在两坐标轴上的截距互为相反数,则(3-4k)+(4-3k)=0,解得k=1或k=34,所以直线方程为y-3=x-4或y-3=34(x-4),即y=x-1或y=34x.一题多变:将本例中的“截距相等”改为“截距互为相反数”,如何?误区警示(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式求直线方程,用待定系数法确定其系数即可;(2)选用截距式求直线方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.如果题中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”等条件时,采用截距式求直线方程,要注意考虑“零截距”的情况.[备用例2]求过点A(5,2),且与两坐标轴围成的三角形的面积是92的直线方程.解:由题意,直线不过原点,且在两坐标轴上的截距都存在,设其方程为xa+yb=1.所以521,1922abab①=,②②可化为ab=±9,解521,9abab=,无解,解521,9abab=-,得15,265ab或3,3.ab所以l的方程为4x-25y+30=0或x-y-3=0.题型三直线方程的应用[例3](2018·河北承德高一检测)直线l过点P(43,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点.(1)当△AOB的周长为12时,求直线l的方程.解:(1)设直线l的方程为xa+yb=1(a0,b0),由题意知,a+b+22ab=12.又因为直线l过点P(43,2),所以43a+2b=1,即5a2-32a+48=0,解得114,3ab或2212,59,2ab所以直线l的方程为3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.解:(2)设直线l的方程为xa+yb=1(a0,b0),由题意知,ab=12,43a+2b=1,消去b,得a2-6a+8=0,解得114,3ab或222,6,ab所以直线l的方程为3x+4y-12=0或3x+y-6=0.(2)当△AOB的面积为6时,求直线l的方程.方法技巧用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标,因此用截距式画直线比较方便.(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时,经常使用截距式.(3)但当直线与坐标轴平行时,有一个截距不存在;当直线通过原点时,两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式,故解决问题过程中要注意分类讨论.解:设直线在x轴、y轴上的截距分别是a,b,则有S=12|a·b|=1.所以ab=±2.设直线的方程是xa+yb=1.因为直线过点(-2,2),代入直线方程得2a+2b=1,即b=22aa.即时训练3-1:求经过点A(-2,2),并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程.所以ab=222aa=±2.当222aa=-2时,化简得a2+a+2=0,方程无解;当222aa=2时,化简得a2-a-2=0,解得1,2,ab或2,1.ab所以直线方程是1x+2y=1或2x+1y=1,即2x+y+2=0或x+2y-2=0.课堂达标1.过点A(3,0)和B(2,1)的直线方程为()(A)x+y-3=0(B)x-y-3=0(C)x+y+3=0(D)x-y+3=0A解析:由两点式方程得010y=323x,整理得x+y-3=0.故选A.2.直线2xa-2yb=1在y轴上的截距是()(A)b2(B)-b2(C)|b|(D)±bB解析:直线方程化为2xa+2yb=1,故直线在y轴上的截距为-b2.故选B.3.直线xa+yb=1过第一、三、四象限,则()(A)a0,b0(B)a0,b0(C)a0,b0(D)a0,b0B解析:因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a0,b0.故选B.解析:线段AB中点为(2,32),又M(3,72),所以所求直线方程为327322y=232x,即4x-2y-5=0.故选B.4.已知M(3,72),A(1,2),B(3,1),则过点M和线段AB的中点的直线方程为()(A)4x+2y=5(B)4x-2y=5(C)x+2y=5(D)x-2y=5B5.经过点(2,1),在x轴上的截距为-2的直线方程是.答案:x-4y+2=0解析:设直线方程为2x+yb=1,将(2,1)代入上式,得b=12,即x-4y+2=0.