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知识导图学法指导1.明确直线的点斜式和斜截式方程的适用条件，注意斜率不存在的情形．2．体会截距与距离的区别与联系．3．体会待定系数法在求直线方程中的应用．4．借助直线的点斜式和斜截式方程来研究直线之间的关系，如平行、垂直等．高考导航1.由直线上一点和斜率求直线方程或由斜率和截距求直线方程是高考的常考点，分值5分．2．由直线方程求斜率和截距或判断直线的位置关系也是常考题型，以选择题、填空题为主，分值5分.知识点直线的点斜式、斜截式方程1．直线的点斜式方程和斜截式方程名称点斜式斜截式已知条件点P(x0，y0)和斜率k斜率k和直线在y轴上的截距b图示名称点斜式斜截式方程______________________适用范围斜率存在y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b2.直线l在y轴上的截距定义：直线l与y轴交点(0，b)的________叫作直线l在y轴上的截距．纵坐标b经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类：①斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)；②斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，或x＝x0.1．斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在．2．纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1,3)．()(2)对于直线y＝2x＋3在y轴上截距为3.()(3)直线的点斜式方程也可写成y－y0x－x0＝k.()√√×2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是()A．y＋3＝x－2B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3D．y－2＝x＋3解析：∵α＝45°，∴k＝tanα＝1，由点斜式得y＋3＝x－2.答案：A3．[2019·合肥一中课时检测]已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则该直线的方程为()A．y＝3x＋2B．y＝－3x＋2C．y＝－3x－2D．y＝3x－2解析：直线的倾斜角为60°，则斜率为tan60°＝3，利用斜截式直接写出方程，即y＝3x－2.答案：D4．直线方程为y＋2＝2x－2，则()A．直线过点(2，－2)，斜率为2B．直线过点(－2,2)，斜率为2C．直线过点(1，－2)，斜率为12D．直线过点(1，－2)，斜率为2解析：把直线方程写成点斜式方程：y－(－2)＝2·(x－1)，故直线过点(1，－2)，斜率为2.答案：D类型一直线的点斜式方程例1根据下列条件写出直线的方程：(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为135°；(2)经过点B(1，－2)，且与y轴平行；(3)经过点C(－1,2)，且与x轴平行．【解析】(1)因为倾斜角为135°，所以k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0.(2)因为直线与y轴平行，所以倾斜角为90°，所以直线的斜率不存在，所以直线方程为x＝1.(3)因为直线与x轴平行，所以倾斜角为0°，所以y＝2.用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标．注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式方程表示直线．方法归纳求直线的点斜式方程的步骤[特别提醒]斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等都为x0，故直线方程为x＝x0.跟踪训练1求满足下列条件的直线的点斜式方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．解析：(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，∴由直线的点斜式方程得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线的点斜式方程可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)．(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝－4－35－－2＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2,3)，∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．当直线的斜率存在时，先确定所过定点，再确定直线的斜率，然后代入公式求解．类型二直线的斜截式方程例2求下列直线的斜截式方程：(1)斜率为－4，在y轴上的截距为7；(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行；(3)求倾斜角为150°，与y轴的交点到原点的距离为3的直线方程．【解析】(1)直线的斜率为k＝－4，在y轴上的截距b＝7，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y＝－4x＋7.(2)直线的斜率为k＝0，在y轴上的截距为b＝2，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y＝2.(3)直线的倾斜角为150°，所以斜率为k＝－33，因为直线与y轴的交点到原点的距离为3，所以在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求的直线方程为y＝－33x＋3或y＝－33x－3.结合截距的几何意义→明晰各题中直线的截距→结合斜率写出直线的斜截式方程方法归纳直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．跟踪训练2根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解析：(1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角为150°，∴斜率k＝tan150°＝－33.由斜截式方程可得y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan60°＝3，∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.(1)直接利用斜截式写出方程；(2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3)截距有两种情况，讨论求解．类型三直线方程的点斜式、斜截式的应用例3已知直线l经过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．【解析】显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0得y＝2k＋3；令y＝0得x＝－3k－2，于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为122k＋3－3k－2＝4，即(2k＋3)3k＋2＝±8，若(2k＋3)3k＋2＝8，则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解．若(2k＋3)3k＋2＝－8，则整理得4k2＋20k＋9＝0，解得k＝－12或k＝－92，所以直线l的方程为x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.首先确定直线的斜率是否存在，再得出直线的点斜式方程，最后利用面积求直线方程．方法归纳用斜率之前一定要说明斜率存在，否则就要分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论，这是一个非常典型的分类讨论问题．跟踪训练3已知斜率为2的直线l不过第四象限，且和两坐标轴围成面积为4的三角形，求直线l的方程．解析：依题意，设直线l的方程为y＝2x＋b，又直线l不过第四象限，∴b≥0.对于直线l，令x＝0，则y＝b；令y＝0，则x＝－b2.由已知，可得12·|b|·－b2＝4，即|b|2＝16，∴b＝4(负值舍去)．故直线l的方程为y＝2x＋4.先设出直线的斜截式方程，再利用面积求截距.