2019-2020学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 4 曲线与方程 4.2 4.3 直线与圆锥曲

一、圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到的距离与它到的距离之比为定值e.当0e1时，圆锥曲线是；当e1时，圆锥曲线是；当e＝1时，圆锥曲线是．一个定点一条定直线椭圆双曲线抛物线二、曲线的交点由曲线方程的定义可知，对于曲线C1：f(x，y)＝0和曲线C2：g(x，y)＝0，由于M(x0，y0)是C1与C2的一个交点⇔，所以，求两条曲线C1与C2的交点，就是求方程组fx0，y0＝0gx0，y0＝0的实数解．三、方程组的解与曲线交点的关系方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有；方程组没有实数解，两条曲线就．f(x0，y0)＝0且g(x0，y0)＝0几个不同交点无交点[想一想]1．直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点．反之，直线与圆锥曲线只有一个交点时，一定相切，这种说法对吗？为什么？提示：直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点，是正确的．但直线与圆锥曲线只有一个交点时，不一定相切．因为直线与双曲线、抛物线只有一个交点时，还有相交的情况，若直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都属直线与双曲线、直线与抛物线相交．[练一练]2．已知动点P(x，y)满足|3x－4y－1|5＝13·x－12＋y－52，则动点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线解析：点P(x，y)到直线3x－4y－1＝0的距离为d＝|3x－4y－1|5；点P(x，y)到A(1,5)的距离为|PA|＝x－12＋y－52，∴|PA|d＝31，∴动点P的轨迹是双曲线．答案：B探究一圆锥曲线的共同特征及应用[典例1]已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时，P点坐标．[解析]如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝4＋1＝5.此时yP＝2，代入抛物线得xP＝1，∴P(1,2)．利用抛物线定义解决有关最值问题(1)要将问题利用定义首先转化为几何知识．(2)注意挖掘题目中隐含条件，还要注重数形结合的应用．1．试在抛物线y2＝4x上求一点A，使A到点B(3，2)与到焦点的距离之和最小．解析：由已知易得点B在抛物线内，p2＝1，准线方程x＝－1，过B作BC′⊥准线l于C′，直线BC′交抛物线于A′，则|A′B|＋|A′C′|为满足题设的最小值．因为C′B∥x轴，B点坐标为(3，2)，所以A′点坐标为(x,2)．又因点A′在抛物线上，所以x＝224＝1，所以A′(1,2)即为所求A点，此时最小值为|BC′|＝3＋1.2．曲线上的点M(x，y)到定点F(5,0)的距离和它到直线l：x＝165的距离之比是常数54，(1)求此曲线方程；(2)在曲线求一点P使|PF|＝5.解析：(1)设d是点M到定直线l的距离，根据题意，曲线上的点M满足|MF|d＝54，由此得x－52＋y2165－x＝54，即x－52＋y2＝54165－x，两边平方整理得x216－y29＝1.(2)设P(x，y)到l的距离为d，由|PF|＝5，得d＝4.即165－x＝4，解得x＝365或x＝－45.由于|x|≥4，故x＝－45不合题意，舍去．由x＝365得y＝±6514.∴点P的坐标为365，±6145.探究二直线与圆锥曲线的公共点问题[典例2]已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解析]直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y＝2x＋m①x24＋y22＝1②，将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m＜－32或m＞32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线的方程为F(x，y)＝0，由Ax＋By＋C＝0Fx，y＝0，消元(如y)后，得ax2＋bx＋c＝0.(1)若a＝0，直线与圆锥曲线有一个公共点，当直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，把直线方程代入相应圆锥曲线方程后得到的方程是一次方程，因此，直线和圆锥曲线只有一个交点，但不相切．(2)若a≠0，设Δ＝b2－4ac，①Δ0时，相交于两点；②Δ＝0时，相切于一点；③Δ0时，无公共点．3．已知点A(0,2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C相切的直线方程．解析：设直线l的方程为y＝kx＋2.当k＝0时，直线方程为y＝2，代入y2＝6x得x＝23，可知此时直线l与抛物线相交于点(23，2)；当k≠0时，将y＝kx＋2代入y2＝6x并消去x，得ky2－6y＋12＝0，关于y的一元二次方程的判别式Δ＝36－48k.由Δ＝0得k＝34，可知此时直线l与抛物线C只有一个公共点，即它们相切，直线l的方程为3x－4y＋8＝0；当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，符合题意．所以直线l的方程为3x－4y＋8＝0或x＝0.4．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，点A(8,8)，求线段AB的中点到准线的距离．解析：设AB的中点是P，到准线的距离是|PQ|，由题意知点F(2,0)，直线AB的方程是：y＝43(x－2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y2＝8x，y＝43x－2，消去x得y2＝834y＋2⇒y2－6y－16＝0⇒y1＝8，y2＝－2.∴|AB|＝1＋342|y1－y2|＝252，由抛物线的定义知：|PQ|＝12|AB|＝254.探究三与弦长、中点、对称有关的问题与弦长、中点、对称有关的问题——弦长问题—弦中点问题设而不求—对称问题5．过点P(－1,1)的直线与椭圆x24＋y22＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长AB.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在椭圆上得：x21＋2y21＝4x22＋2y22＝4，两式相减得：x21－x22＋2y21－2y22＝0，(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0，显然x1≠x2，故得：kAB＝y1－y2x1－x2＝－x1＋x22y1＋y2.①因为点P是AB的中点，所以有：x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2.②把②代入①得：kAB＝12，故AB的直线方程是y－1＝12(x＋1)，即x－2y＋3＝0.由x－2y＋3＝0x24＋y22＝1，消去y得：3x2＋6x＋1＝0，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝13，|AB|＝1＋k2AB·x1＋x22－4x1x2＝1＋14·243＝303.6．已知椭圆x22＋y2＝1.(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；(2)过N(1,2)的直线l与椭圆相交，求l被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．解析：设弦的两端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，中点为M(x0，y0)，则有x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.由x212＋y21＝1，x222＋y22＝1.两式作差得：x2－x1x2＋x12＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0，∴y2－y1x2－x1＝－x2＋x12y2＋y1＝－x02y0.即kAB＝－x02y0.①(1)设弦中点为M(x，y)，由①式，2＝－x2y，∴x＋4y＝0.故所求的轨迹方程为x＋4y＝0(在已知椭圆的内部)．(2)不妨设l交椭圆于A、B，弦中点为M(x，y)．由①式，kl＝kAB＝－x2y，又∵kl＝kMN＝y－2x－1，∴－x2y＝y－2x－1.整理得x2＋2y2－x－4y＝0，此式对l的方程为x＝1时也成立．∴所求中点的轨迹方程是x2＋2y2－x－4y＝0(在已知椭圆的内部)．7．已知过点(1,0)的直线l与中心在原点、焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A，B两点，直线y＝12x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程．解析：设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，显然，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝k(x－1)，代入椭圆方程，整理得(k2a2＋b2)x2－2k2a2x＋a2k2－a2b2＝0.∵直线l与C交于A，B两点，∴Δ＝4k4a4－4(a2k2－a2b2)(k2a2＋b2)0，即k2a2－k2＋b20.①当Δ0时，设直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，则x0＝12(x1＋x2)＝k2a2k2a2＋b2.∴y0＝12(y1＋y2)＝12[k(x1－1)＋k(x2－1)]＝－kb2k2a2＋b2.∵M(x0，y0)在直线y＝12x上，∴－kb2k2a2＋b2＝12·k2a2k2a2＋b2，∴k＝－2b2a2.又b2a2＝1－e2＝1－12＝12，∴k＝－2b2a2＝－1.∵a2＝2b2，∴椭圆C的方程为x22b2＋y2b2＝1.其右焦点为(b,0)，设点(b,0)关于直线y＝－x＋1的对称点为点(x′，y′)，则y′x′－b＝1y′2＝1－x′＋b2⇒x′＝1，y′＝1－b.∵点(1,1－b)在椭圆上，∴1＋2(1－b)2＝2b2，解得b2＝916.把b2＝916，a2＝98，k2＝1代入①式，得Δ0.∴b2＝916，a2＝98.∴椭圆C的方程为x2＋2y2＝98，直线l的方程为y＝－x＋1.转化思想在研究圆锥曲线最值问题中的应用[典例]已知点A(1,2)在椭圆x216＋y212＝1内，F的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P，使|PA|＋2|PF|最小．[解析]因为a2＝16，b2＝12，所以c2＝4，所以c＝2.所以F为椭圆的右焦点，并且离心率为24＝12.设P到右准线的距离为d，则|PF|＝12d，即d＝2|PF|.所以|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d.由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|PA|＋d最小．把y＝2代入x216＋y212＝1得x＝463x＝－463舍去，即P463，2为所求的点．[感悟提高](1)利用圆锥曲线的共同特征能实现到焦点与到对应准线距离间的相互转化．(2)在求形如：|AM|＋1e|MF|(其中F为焦点，A为定点，M为圆锥曲线上动点)的最小值时，常利用共同特征(也叫圆锥曲线的第二定义)把1e|MF|转化为焦点F到相应准线的距离解决．