2019-2020学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 4 曲线与方程 4.1 曲线与方程课件 北师

一、方程的曲线与曲线的方程的意义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个的实数解建立了如下的关系：1．都是这个方程的解；2．的点都在曲线上．那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．二元方程f(x，y)＝0曲线上点的坐标以这个方程的解为坐标二、求曲线方程(直接法)的一般步骤1．建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点M的坐标；2．写出适合条件的点M的集合；3．用坐标表示条件p(M)，列出方程；4．化方程f(x，y)＝0为最简形式；5．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，步骤5可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，另外也可以省略2，直接列出曲线方程．有序实数对(x，y)P＝{M|p(M)}f(x，y)＝0[疑难提示]对曲线与方程的理解曲线是满足条件的图形，方程是曲线的方程，包含对其中未知数的限制．[想一想]1．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示：若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，∴点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.[练一练]2．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0解析：“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A、C错．B显然错．答案：D探究一曲线与方程的概念[典例1]已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M(m2，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值．[解析](1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q(2，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M(m2，－m)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴x＝m2，y＝－m适合上述方程，即(m2)2＋(－m－1)2＝10，化简整理得5m2＋8m－36＝0，解得m＝2或m＝－185，∴m的值为2或－185.“曲线的方程”和“方程的曲线”是以平面直角坐标系为平台的两个重要概念，两者必须同时具备以下两个条件：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．也就是说，曲线C是一个点集，以方程f(x，y)＝0的实数解为坐标的点的集合F＝{(x，y)|f(x，y)＝0}，曲线和方程的概念中的两个条件可以表示为(1)C⊆F；(2)F⊆C.由两个集合相等的概念知C＝F.所以曲线和方程的概念中的两个条件实际上是两个集合相等，这是判断方程是否为所给曲线的方程，曲线是否为所给方程的曲线的标准．1．下列曲线(含直线)与方程能否建立“曲线的方程”和“方程的曲线”的关系？说明理由．(1)曲线C：过点A(2,0)且平行于y轴的直线；方程f(x，y)＝0：|x|＝2.(2)曲线C：到两坐标轴的距离的积等于1的点的集合；方程f(x，y)＝0：xy＝1.解析：(1)过点A(2,0)且平行于y轴的直线上的点的坐标x＝2都是方程|x|＝2的解；而以方程|x|＝2的解为坐标的点不都在这条直线上．也就是说，曲线与方程只满足关系(1)而不满足关系(2)，故该曲线C的方程为x＝2，方程|x|＝2表示两条直线．(2)到两坐标轴的距离的积等于1的点的坐标不都是方程xy＝1的解，如点(1，－1)，而以方程xy＝1的解为坐标的点都在曲线C上．也就是说，曲线与方程只满足关系(2)而不满足关系(1)，故该曲线C的方程为xy＝±1，方程xy＝1表示位于一、三象限的双曲线．2．(1)判断点A(－4,3)，B(－32，－4)，C(5，25)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，2)与点N32，n在曲线C上，求m，n的值．解析：(1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25中，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；把点B(－32，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；把点C(5，25)的坐标代入x2＋y2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x≤0的条件，所以点C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M(m，2)，N32，n在曲线C上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m2(m2－1)＝2×1，34×－14＝n2(n2－1)，解得m＝±2，n＝±12或±32.探究二根据方程研究曲线[典例2]方程y＝|x|x2所表示的图形是()[解析]方程y＝|x|x2＝1x，x＞0，－1x，x＜0，结合各选项的图形可得正确的图形为B.[答案]B判断方程表示什么曲线的问题，一般的解题方法是对方程进行同解变形，此时可将方程视为函数，研究其定义域，从而把方程变形到易于判断或熟知的方程为止．对于复杂的方程，需进行因式分解，得到每个简单方程表示的曲线，此时，原方程表示的曲线即为上述各曲线．3．方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是()A．两条直线B．两条射线C．两条线段D．一条直线和一条射线解析：由(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0，得2x＋3y－1＝0(x≥3)或x－3－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，所以方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是一条直线和一条射线．故选D.答案：D4．(1)方程(x＋y－1)x－1＝0表示什么曲线？(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？解析：(1)由方程(x＋y－1)x－1＝0可得：x－1≥0，x＋y－1＝0，或x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)，(2)方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴2x－12＝0，y＋12＝0，∴x＝1，y＝－1，∴方程表示的图形为点A(1，－1)．探究三求曲线的方程求曲线方程的常用方法——直接法—定义法—代入法—参数法5．已知A(0,4)，点B是曲线2x2＋1－y＝0上任意一点，且M是线段AB的中点，求动点M的轨迹方程．解析：设B(x1，y1)，M(x，y)，由M是线段AB的中点，得x＝x12y＝y1＋42，∴x1＝2xy1＝2y－4.又点B在曲线2x2＋1－y＝0上，∴2x21＋1－y1＝0，∴2×(2x)2＋1－(2y－4)＝0，即8x2－2y＋5＝0，∴动点M的轨迹方程是8x2－2y＋5＝0.6．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在⊙C1的内部，且和⊙C1内切，和⊙C2外切，求动圆圆心的轨迹方程．解析：由已知可得圆C1与C2的圆心坐标分别为C1(4,0)，C2(－4，0)，其半径分别为r1＝13，r2＝3.设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为r.由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C1C|＝r1－r.①由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C2C|＝r2＋r.②由①＋②可得|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16，即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|＝8，可知动点C的轨迹是以C1与C2为焦点的椭圆．由题意，得c＝4，a＝8，∴b2＝a2－c2＝64－16＝48.即动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，其方程为x264＋y248＝1.7．已知A为定点，线段BC在定直线l上滑动，|BC|＝4，点A到直线l的距离为3，求△ABC外心的轨迹方程．解析：建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，点A在y轴上(如图所示)，则A(0,3)．设△ABC的外心为P(x，y)，因为点P在线段BC的垂直平分线上，所以不妨令B(x＋2,0)，C(x－2,0)．连接AP，BP.因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以|PA|＝|PB|，即x2＋y－32＝22＋y2，化简得x2－6y＋5＝0.于是△ABC外心的轨迹方程为x2－6y＋5＝0.8．A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知|BC|＝4，A到l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程．解析：解法一(直接法)建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，A点在y轴上(如图所示)，则A(0，3)．设外心P的坐标为(x，y)，∵P在BC的垂直平分线上，∴B(x＋2,0)，C(x－2,0)．∵P也在AB的垂直平分线上，∴|PA|＝|PB|，即x2＋y－32＝22＋y2，化简，得x2－6y＋5＝0.即△ABC的外心的轨迹方程为x2－6y＋5＝0.解法二(参数法)建立坐标系(同解法一)，得A(0,3)．设BC边的垂直平分线的方程为x＝t，①则点B的坐标为(t＋2,0)，于是AB的中点是t＋22，32，从而AB的垂直平分线方程为y－32＝t＋23x－t＋22.②由①②式消去t，得x2－6y＋5＝0，即为所求．转化思想在求解有关轨迹方程问题中的应用[典例]已知点Q(2,0)和圆x2＋y2＝1，动点M到圆O的切线长等于圆O的半径与|MQ|的和，求动点M的轨迹方程．[解析]如图，过M作圆的切线MN，N为切点，设M(x，y)．由题意知|MN|＝|MQ|＋|ON|，由于|MN|＝|OM|2－|ON|2＝x2＋y2－1，|MQ|＝x－22＋y2，|ON|＝1，所以x2＋y2－1＝x－22＋y2＋1两边平方整理得2x－3＝x－22＋y2，再两边平方整理得3x2－y2－8x＋5＝0.即：9x－432－3y2＝1.因为2x－3＝x－22＋y2中2x－3≥0，所以x≥32.所以动点M的轨迹方程为9x－432－3y2＝1x≥32.[感悟提高](1)对方程的化简及自变量的取值是重难点．(2)求曲线方程要注意两个等价：一是所列方程与题目要求是否等价；二是对方程化简变形是否等价．