2019-2020学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 4 4.1 曲线与方程课件 北师大版选修2-

§4曲线与方程4．1曲线与方程一、预习教材·问题导入在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中．问题1：直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？提示：相等．问题2：到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上吗？提示：不一定．问题3：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y＝±x.二、归纳总结·核心必记方程的曲线、曲线的方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是；(2)以这个方程的解为坐标的点都在，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．这个方程的解曲线上[注意]判断方程是否是曲线的方程，要从两方面考虑，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．三、综合迁移·素养培优1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y2＝x与y＝x表示同一条曲线()(2)过点P(x0，y0)斜率为k的直线的方程是y－y0x－x0＝k()(3)若点P(x0，y0)在曲线C上，则有f(x0，y0)＝0()(4)以A(0,1)，B(1,0)，C(－1,0)为顶点的△ABC的BC边上中线的方程是x＝0()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．方程x2＋xy＝x表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线答案：C3．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程为()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3答案：B4．若点P(2，－3)在曲线x2－ky2＝1上，则实数k＝________.答案：13考点一曲线与方程的概念的理解[典例](1)判断点A(－4,3)，B(－32，－4)，C(5，25)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，2)与点N32，n在曲线C上，求m，n的值．[解](1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25中，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；把点B(－32，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．把点C(5，25)的坐标代入x2＋y2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x≤0的条件，所以点C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M(m，2)，N32，n在曲线C上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m2(m2－1)＝2×1，34×－14＝n2(n2－1)，解得m＝±2，n＝±12或±32.[类题通法]判定曲线和方程的对应关系的策略(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性．(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性．[注意]只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．[针对训练]1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2x”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：点M在曲线y2＝4x上，若点M(x0，y0)，则y20＝4x0，不能得出y0＝－2x0；若点M(x0，y0)满足方程y＝－2x，则y0＝－2x0，∴y20＝4x0，故为必要不充分条件．答案：B2．判断下列结论的正误，并说明理由．(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝0；(2)到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；(4)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程为x＝0.解：(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x＝3，∴结论不正确．(2)∵到x轴距离为2的点的轨迹方程是y＝±2，∴结论错误．(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y|＝1，即xy＝±1，∴结论错误．(4)中线AD是一条线段，而不是直线，应为x＝0(－3≤y≤0)，∴结论错误．考点二由方程确定曲线[典例](1)方程(x＋y－1)x－1＝0表示什么曲线？(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？[解](1)由方程(x＋y－1)x－1＝0可得：x－1≥0，x＋y－1＝0，或x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)，(2)方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴2x－12＝0，y＋12＝0，∴x＝1，y＝－1，∴方程表示的图形为点A(1，－1)．[类题通法]曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性．[针对训练]1．方程x－1lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲线的图形为()解析：x－1lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲线为x＝1，x2＋y2－10或x1，x2＋y2－1＝1，可得x＝1，x2＋y21或x1，x2＋y2＝2.结合图像知选D.答案：D2．方程4x2－y2＋4x＋2y＝0表示的曲线是()A．一个点B．两条互相平行的直线C．两条互相垂直的直线D．两条相交但不垂直的直线解析：∵4x2－y2＋4x＋2y＝0，∴(2x＋1)2－(y－1)2＝0，∴2x＋1＝±(y－1)，∴2x＋y＝0或2x－y＋2＝0，这两条直线相交但不垂直．答案：D3．方程1－|x|＝1－y表示的曲线为()A．两条线段B．两条直线C．两条射线D．一条射线和一条线段解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥0.∴有y＝|x|，|x|≤1.∴曲线表示两条线段，故选A.答案：A考点三求曲线的方程[典例]已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．[解][法一直接法]如图所示，连接QC，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋x2＋(y－3)2＝9，所以OP的中点Q的轨迹方程为x2＋y－322＝94(去掉原点)．[法二定义法]如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上．故Q点的轨迹方程为x2＋y－322＝94(去掉原点)．[法三代入法]设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意得x＝x12，y＝y12，即x1＝2x，y1＝2y，又因为x21＋(y1－3)2＝9，所以4x2＋4y－322＝9，即x2＋y－322＝94(去掉原点)．[类题通法]求曲线方程的4种常用方法直接法建立适当的坐标系后，设动点坐标为(x，y)，根据几何条件寻求x，y之间的关系式定义法若所给几何条件正好符合所学过的已知曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法待定系数法根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定系数[针对训练]1．已知定点A(－1,0)，B(1,0)，动点P满足直线PA，PB的斜率之积为－1，则动点P满足的方程是()A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1(x≠±1)C．x2＋y2＝1(x≠0)D．y＝1－x2(x≠±1)解析：设动点P的坐标为(x，y)，则kPA＝yx＋1(x≠－1)，kPB＝yx－1(x≠1)．∵kPA·kPB＝－1，∴yx＋1·yx－1＝－1，整理得x2＋y2＝1(x≠±1)．答案：B2．已知△ABC的两个顶点A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心G的轨迹方程．解：设△ABC的重心G(x，y)，C(x0，y0)，则x＝x0－23，y＝y0－23，即x0＝3x＋2，y0＝3y＋2.∵点C在y＝3x2－1上，∴y0＝3x20－1，即3y＋2＝3(3x＋2)2－1.整理得y＝9x2＋12x＋3.∴△ABC的重心G的轨迹方程为y＝9x2＋12x＋3.3．等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4,2)，B(－2,0)，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程．解：设点C的坐标为(x，y)，∵△ABC为等腰三角形，且A为顶点，∴|AB|＝|AC|又∵|AB|＝4＋22＋22＝210，∴|AC|＝x－42＋y－22＝210，∴(x－4)2＋(y－2)2＝40.又∵点C不能与B重合，也不能使A、B、C三点共线，∴x≠－2且x≠10，∴点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝40(x≠－2且x≠10)．