2019-2020学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3 双曲线 3.2 双曲线的简单性质课件 北

双曲线的几何性质类型x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形焦点性质焦距(－c,0)，(c,0)(0，c)，(0，－c)2c类型x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)范围对称性关于x轴，y轴，原点对称顶点轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率性质渐近线y＝±abxx∈(－∞，－a]∪[a，＋∞)y∈(－∞，－a]∪[a，＋∞)(－a,0)，(a,0)(0，a)，(0，－a)e＝ca1y＝±bax[疑难提示]双曲线的渐近线与双曲线的方程之间的关系(1)双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线为y＝±bax，双曲线y2a2－x2b2＝1的渐近线为y＝±abx，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．(2)双曲线确定时，渐近线唯一确定，渐近线确定时，双曲线并不唯一确定．(3)若已知渐近线方程为mx±ny＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，可用下面的方法来解决．①分两种情况设出方程进行讨论．②依据渐近线方程，设出双曲线方程m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．[想一想]1．双曲线的离心率对双曲线有何影响？提示：e＝ca，e1，它决定双曲线的开口大小，e越大，开口越大．(1)离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小．∵ba＝c2－a2a2＝e2－1，∴e越大，ba越大，∴双曲线开口越大．(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e＝2.[练一练]2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．22C．4D．42解析：∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，∴a＝2，∴2a＝4.答案：C3．若双曲线x24－y2b2＝1(b0)的渐近线方程为y＝±12x，则b等于________．解析：x24－y2b2＝1(b0)的渐近线为y＝±12bx，由题意知12b＝12，∴b＝1.答案：1探究一由双曲线方程研究其几何性质[典例1]求双曲线9y2－16x2＝144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程、离心率．[解析]双曲线方程可化为y216－x29＝1.因为a＝4，b＝3，c2＝a2＋b2＝25，所以c＝5.所以实轴长2a＝8；虚轴长2b＝6；焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；顶点坐标为(0，－4)，(0,4)；渐近线方程为y＝±43x；离心率e＝ca＝54.根据双曲线的标准方程可以得出双曲线的几何性质，双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标、实轴端点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置(x轴、y轴)有关．1．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的虚轴长为()A．3B．6C．9D．12解析：因为双曲线的右焦点为F2(5,0)，且离心率为e＝ca＝54，所以c＝5，a＝4，故b2＝c2－a2＝9，所以虚轴长为2b＝6.答案：B2．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．解析：将4x2－y2＝4变形为x2－y24＝1，即x212－y222＝1.∴a＝1，b＝2，c＝5.因此顶点为A1(－1,0)，A2(1,0)；焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)；实半轴长是a＝1，虚半轴长是b＝2；离心率e＝ca＝51＝5；渐近线方程为y＝±bax＝±2x，草图如图所示．探究二由双曲线的几何性质求标准方程[典例2]根据以下条件，求双曲线的标准方程：(1)过P(3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x29＋y24＝1有公共焦点，且离心率e＝52；(3)F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，又离心率为2；(4)与双曲线x29－y216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)．[解析](1)若双曲线的焦点在x轴上，设为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵e＝2，∴c2a2＝2，即a2＝b2.①又过点P(3，－5)，有9a2－5b2＝1，②由①②得a2＝b2＝4，∴双曲线方程为x24－y24＝1.若双曲线的焦点在y轴上，设为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．同理有a2＝b2③5a2－9b2＝1④由③④得a2＝b2＝－4(不合题意，舍去)．综上，双曲线的标准方程为x24－y24＝1.(2)由椭圆方程x29＋y24＝1，知长半轴a1＝3，短半轴b1＝2，半焦距c1＝a21－b21＝5，所以焦点是F1(－5，0)，F2(5，0)．因此双曲线的焦点也为(－5，0)和(5，0)，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由题设条件及双曲线的性质，有c＝5c2＝a2＋b2ca＝52，解得a＝2b＝1.即双曲线方程为x24－y2＝1.(3)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，因|F1F2|＝2c，而e＝ca＝2，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.由余弦定理得(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos60°)．化简，得4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.又S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝123，所以|PF1|·|PF2|＝48.即3c2＝48，c2＝16，得a2＝4，b2＝12.故所求双曲线的方程为x24－y212＝1.(4)∵双曲线x29－y216＝1的渐近线方程为y＝±43x，∴设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)．将点(－3,23)代入得λ＝14，∴双曲线方程为x29－y216＝14，即x294－y24＝1.1．已知双曲线的几何性质，确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏．2．若已知双曲线的渐近线方程为xa±yb＝0，求双曲线方程时，为避免讨论，可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再根据其他条件确定λ的值．3．与双曲线y24－x2＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程为()A.y23－x212＝1B.x23－y212＝1C.y22－x28＝1D.x22－y28＝1解析：设与双曲线y24－x2＝1有共同的渐近线的双曲线方程为y24－x2＝λ≠0，∵双曲线过点(2,2)，∴44－4＝λ，∴λ＝－3，∴所求双曲线的方程为y24－x2＝－3，即x23－y212＝1，故选B.答案：B4．(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过P(6，2)，求双曲线方程；(2)求焦点在x轴上，离心率为53，且经过点M(－3，23)的双曲线方程．解析：(1)设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．依题意可得ab＝23，4a2－6b2＝1⇒a2＝43，b2＝3.故所求双曲线方程为34y2－13x2＝1.(2)设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵e＝53，∴e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝259，∴ba＝43.9a2－12b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.∴所求的双曲线方程为x294－y24＝1.探究三直线和双曲线的位置关系[典例3]已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，讨论双曲线与直线公共点的个数．[解析]联立方程组y＝kx－1x2－y2＝4消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)(1)当1－k2＝0，即k＝±1时，方程(*)化为2x＝5，方程组有一解．故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行．(2)当1－k2≠0，即k≠±1时；①由Δ＝4(4－3k2)0，得－233k233且k≠±1，此时方程(*)有两解，方程组有两解．故直线与双曲线有两个公共点．②由Δ＝4(4－3k2)＝0，得k＝±233，此时方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切．③由Δ＝4(4－3k2)0，得k－233或k233，此时方程组无解，故直线与双曲线无公共点；综上所述，当k＝±1或k＝±233时，直线与双曲线有一个公共点；当－233k－1或－1k1或1k233时，直线与双曲线有两个公共点；当k－233或k233时，直线与双曲线无公共点．把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知量，如消去y，得到一个方程ax2＋bx＋c＝0，则(1)a≠0时，方程为一元二次方程．①Δ0，则直线与圆锥曲线相交，有两个公共点；②Δ＝0，则直线与圆锥曲线相切，有且只有一个公共点；③Δ0，则直线与圆锥曲线相离，没有公共点．(2)a＝0，b≠0时，直线与圆锥曲线有一个公共点，对抛物线来说，此时直线与对称轴平行或重合；对双曲线来说，此时直线与渐近线平行．5．直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2,0)和线段AB的中点M，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．解析：由y＝kx＋1x2－y2＝1(x≤－1)，消去y，得(k2－1)x2＋2kx＋2＝0，①∵直线m与双曲线的左支有两个交点，∴方程①有两个不相等的负实数根．∴Δ＝4k2＋81－k20x1＋x2＝2k1－k20x1x2＝－21－k20，∴1k2.设M(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝k1－k2y0＝kx0＋1＝11－k2，由P(－2,0)，M(k1－k2，11－k2)，Q(0，b)三点共线，不难得出，b＝2－2k2＋k＋2.设φ(k)＝－2k2＋k＋2＝－2(k－14)2＋178.∴φ(k)在(1，2)上为减函数，φ(2)φ(k)φ(1)且φ(k)≠0.∴－(2－2)φ(k)0或0φ(k)1，∴b－2－2或b2.即l在y轴上的截距b的取值范围为(－∞，－2－2)∪(2，＋∞)．探究四与渐近线、离心率有关的问题与率渐有近关线的、问离题心——利用双曲线定义求离心率—求双曲线的渐近线方程—利用渐近线方程求离心率—利用渐近线方程求双曲线方程—利用方程思想求双曲线的离心率6．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的实轴长是焦距的12，则该双曲线的渐近线方程是()A．y＝±32xB．y＝±2xC．y＝±3xD．y＝±22x解析：由题可知2a＝12×2c＝c，则4a2＝c2＝a2＋b2，解得b2a2＝3，所以ba＝3，故该双曲线的渐近线方程是y＝±3x，选C.答案：C7．已知双曲线的渐近线方程为y＝±34x，求此双曲线的离心率．解析：当焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±bax，依题意，得ba＝34，b＝34a，c＝a2＋b2＝54a，∴e＝ca＝54；当焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±abx，依题意，得ab＝34，b＝43a，c＝a2＋b2＝53a，∴e＝ca＝53.∴此双曲线的离心率为54或53.8．已知双曲线的渐近线方程是y＝±23x，焦距为226，求双曲线的标准方程．解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为x2a21－y2b21＝1(a10，b10)．由题意知b1a1＝23c21＝a21＋b21＝26，解得a21＝18b21＝8，此时双曲线的标准方程为x218－y28＝1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为y2a22－x2b22＝1(a20，b20)，由题意知a2b2