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3．2双曲线的简单性质一、预习教材·问题导入如图是阿联酋阿布扎比国家展览中心(ADNEC)．阿布扎比是阿联酋的首都，这个双曲线塔形建筑是中东最大的展览中心．它的形状就像一条双曲线．这是双曲线在建筑学上的应用，要想让双曲线更多更好的为生活、工作所应用，我们必须研究双曲线的性质．问题1：双曲线的对称轴、对称中心是什么？提示：坐标轴；原点．问题2：双曲线的离心率越大，双曲线就越开阔吗？提示：是．离心率越大，ba越大，双曲线就越开阔．二、归纳总结·核心必记标准方程图像性质焦点__________________________________________焦距________________范围__________________________________________顶点_________________________________x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)双曲线的性质|F1F2|＝2cx≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R(－a,0)，(a,0)(－a,0)，(a,0)标准方程性质对称性对称轴：____________；对称中心：__________轴长实轴长＝____，虚轴长＝____渐近线离心率x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)x轴、y轴坐标原点2a2bxa±yb＝0或y＝±baxxb±ya＝0或y＝±abxe＝ca(e＞1)三、综合迁移·素养培优1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)双曲线x22－y24＝1的焦点在y轴上()(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔()(3)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条()答案：(1)×(2)√(3)×2．双曲线x216－y2＝1的顶点坐标是()A．(4,0)，(0,1)B．(－4,0)，(4,0)C．(0,1)，(0，－1)D．(－4,0)，(0，－1)答案：B3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是()A.x225－y29＝1B.x225－y29＝1或y225－x29＝1C.x2100－y236＝1D.x2100－y236＝1或y2100－x236＝1答案：B4．双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝35x，则a＝________.答案：5考点一双曲线的简单性质[典例]求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[解]双曲线的方程化为标准形式是x29－y24＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝13.又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝ca＝133，渐近线方程为y＝±23x.[类题通法]由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．[注意]求性质时一定要注意焦点的位置．[针对训练]1．若双曲线x2－y2m＝1的离心率为3，则实数m＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a2＝1，b2＝m，所以e＝1＋b2a2＝1＋m＝3，解得m＝2.答案：22．求双曲线16x2－9y2＝－144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．解：把方程化为y216－x29＝1，∴a＝4，b＝3，c＝5.∴实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，焦点坐标(0，－5)，(0,5)；离心率e＝ca＝54，渐近线方程为y＝±43x.考点二利用双曲线的性质求双曲线方程[典例]求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)实轴长为16，离心率为54；(2)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．[解](1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由题意知2a＝16，ca＝54，c2＝a2＋b2，解得c＝10，a＝8，b＝6，所以双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.(2)设双曲线方程为：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由已知得a＝3，c＝2，∴b2＝c2－a2＝1.∴双曲线的标准方程为：x23－y2＝1.[类题通法]根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法．首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．[针对训练]1．已知双曲线与椭圆x216＋y264＝1有共同的焦点，且它的离心率为2，则该双曲线的方程为()A．x2－y2＝50B．x2－y2＝24C．x2－y2＝－50D．x2－y2＝－24解析：因为双曲线与椭圆x216＋y264＝1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y轴上，分别为(0，－43)和(0,43)，因为双曲线的离心率为2，所以ca＝43a＝2，所以a＝26，b＝26，所以双曲线的方程为y2－x2＝24，即x2－y2＝－24.答案：D2．(1)已知双曲线的焦点在y轴，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过P(6，2)，求双曲线方程；(2)求焦点在x轴上，离心率为53，且经过点M(－3，23)的双曲线方程．解：(1)设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．依题意可得ab＝23，4a2－6b2＝1⇒a2＝43，b2＝3.故所求双曲线方程为34y2－13x2＝1.(2)设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵e＝53，∴e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝259，∴ba＝43.9a2－12b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.∴所求的双曲线方程为x294－y24＝1.考点三求双曲线的离心率[典例]已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，求双曲线C的离心率．[解]设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，如图所示，由于在双曲线中cb，故在Rt△OF1B2中，只能是∠OF1B2＝30°，所以bc＝tan30°，c＝3b，所以a＝2b，离心率e＝ca＝32＝62.[类题通法]求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解，若已知a，b，可利用e＝1＋ba2求解．(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝ca，转化为关于e的n次方程求解．[针对训练]1．若双曲线x2＋ky2＝1的离心率是2，则实数k的值是()A．－3B.13C．3D．－13解析：双曲线x2＋ky2＝1可化为x21＋y21k＝1，故离心率e＝1－1k1＝2，解得k＝－13.答案：D2．如果双曲线x2a2－y2b2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，因为AO＝AF，F(c,0)，所以xA＝c2，因为A在右支上且不在顶点处，所以c2a，所以e＝ca2.答案：(2，＋∞)3．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作等边△MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为________．解析：如图，点N为MF2的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解．|F1N|＝3c，|NF2|＝c.又∵|NF1|－|NF2|＝2a，即3c－c＝2a.∴e＝ca＝23－1＝3＋1.答案：3＋1